數學
aka 高中數學 in 資訊
這份簡報會跟去年的長很像
但是我多放了很多 AGC
所以刷不動不用洩氣，我也刷不動
簡介
競賽數學主要分 ACGN 四大類
Algebra 代數
Combinatory 組合
Geometry 幾何
Number theory 數論
不是 Animation, Comic, Game, Novel 啦
資訊用到的數學
\(C \approx N > A > G\)
然後要會一點向量、線性代數、群論
如果你去年聽過了
來做怪題
題目是真的挺怪的，但是非常好數學，數學非常好
第三題是純幾XD
構造題
八維立方體 CF 1543 E
蠻酷的想法
第一步也是最通靈的一步：假設黑白染色，滿足每對相鄰的點的黑點都 > 白點
可以發現黑點就是 lcm of 相鄰的白點
又要 <= 10^15，10^15^(1/4) = 10^(3.75) ~= 5600
考慮一個格子，他是剛好兩條對角線的交點
假設每條對角線代表一個質數，白格是兩條對角線的乘積
因此白格互不相同
那麼黑格就是所有相鄰的點的對角線代表的值的乘積，由於只有 1000 條對角線，所以只要對角線的值不要太大就好
算一下第 1000 個質數是 7919，好好配一下(例如大小相間)就可以了
跟上一題有點像
首先 k <= 500 那就大小是 k 然後第 i 行塗第 i 種顏色，完美
下面考慮 k > 500 的時候
前面的東西我想了很久還是不知道怎麼改
沒關係，我說的是跟上一題有點像
對角線有用嗎
都說了就是有用
觀察到 500%2 == 0
考慮 k = 500，n = 500 且第 i 條主對角線塗顏色 i
那可以發現 i 只跟 i+1 還有 i-1 相鄰
這提供了我們一個改法
第 i 條對角線改塗 i 與 i+500，如果 i+500 <= k 的話
done!
跟上一題有點像
我居然沒講二進位分解
數論
同餘
a 與 b 在模 p 下同餘若且唯若 (a-b)%p == 0
這裡的 p 不一定是質數
加法、減法、乘法
const int mod=998244353;
void add(int& x,int y){
x+=y;
x-=mod*(x>=mod);
x+=mod*(x<0);
}
int mul(int x,int y){
return 1ll*x*y%mod;
}除法
在模質數底下，不能整除怎麼辦
\(\frac{x}{y} = z \implies x \equiv y \cdot z \pmod p\)
假設我們有 \(y \cdot b \equiv 1 \pmod p\)
那麼 \( x \cdot b \equiv b \cdot y \cdot z \equiv z \pmod p\)
也就是說 \( z \equiv x \cdot b \pmod p \)
這樣就可以算了
問題就是要怎麼算出那個 b
有三種方法
- 費馬小定理
- 酷酷公式
- 貝祖定理
模逆元
費馬小定理
$$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$$
也就是說 \( a \cdot a^{p-2} \equiv 1 \pmod p\)
代表 \(b = a^{p-2}\)
直接用快速冪做就好了
快速冪
\( a^n = (a^{n/2})^2 \cdot a [a\%2==1] \)
O(logn)
酷酷公式
int inv(int x){
return x==1?1:mul(mod-mod/x,inv(mod%x));
}據說是 O(logn)
我不會證但是沒有出包過
實作簡單
貝祖定理
對於所有整數 \(a,b\) 存在無限多組整數 \(x,y\) 滿足 $$ ax + by = gcd(a,b) $$
遞迴
假設我們有了 \( bx' + (b\%a)y' = 1\)
要怎麼推出 \(ax + by = 1\)的解
注意到 \(a\%b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \cdot b\)
$$bx' + (a\%b) y' = 1 $$
$$ bx' + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b)y' = 1 $$
$$ ay' + b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y') = 1$$
是唯一能用在合數的模逆元方法
GCD
輾轉相除法
或是有酷酷的內建函式 __gcd 可以用
範例 code
const int mod=998244353;
void add(int& x,int y){
x+=y;
x-=mod*(x>=mod);
x+=mod*(x<0);
}
int mul(int x,int y){
return 1ll*x*y%mod;
}
int po(int x,int y){
int z=1;
while(y){
if(y&1){
z=mul(z,x);
}
x=mul(x,x);
y>>=1;
}
return z;
}
int inv(int x){
return po(x,mod-2);
}
int inv(int x){
return x==1?1:mul(mod-mod%x,inv(mod%x));
}
add(x,1);
x=mul(x,2);
__gcd(3,5);OJDL 7044
模逆元練習
這題太神隨意看題解
質數
判斷質數
從 1 掃到 \( \sqrt n\) ，如果裡面有整數是因數就不是質數，反之則是
其他方法
找到 1 到 n 的所有質數
照上面的作法會是 O(n^1.5)
改進一下
從 1 到 n 掃過一遍，每次更新他的所有倍數
沒被更新過的就是質數
\( O( \frac{n}{1} + \frac{n}{2} + \dots + \frac{n}{n}) = O(n log(n)) \)
因數篩
小優化
只跑過質數的倍數
\( O( \frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \dots )= O(n loglog(n)) \)
上一張的可以用在找出一個數的所有因數
由此也可得 1 到 n 所有數的因數數量和 = O(nlogn)
線性篩
如果能讓每個數都被篩過一次，那就可以 O(n) 算完了
所以我們會想要讓每個合數被他的最小質因數算到
vector<int> vis,pr;
for(int i=2;i<n;i++){
if(!vis[i]){
pr.push_back(i);
}
for(auto h:pr){
if(h*i>n){
break;
}
vis[h*i]=1;
if(i%h==0){
break;
}
}
}Code
線性篩求歐拉函數
歐拉函數 \(\varphi(n)\) 代表 n 以下有多少數與 n 互質
有積性
code
vector<int> vis,pr,phi;
for(int i=2;i<n;i++){
if(!vis[i]){
pr.push_back(i);
phi[i]=i-1;
}
for(auto h:pr){
if(h*i>n){
break;
}
vis[h*i]=1;
if(i%h==0){
phi[i*h]=h*phi[i];
break;
}
else{
phi[i*h]=phi[h]*phi[i];
}
}
}題目
組合
組合數 \(C^n_k\)
算法：主要有三種
- \(n \leq 1000: O(n^2) \) Pascal Triangle
- \(n \leq 1000000\) 多次詢問：O(n) 蓋出 frac 表，然後用 $$ C^n_k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} $$
- (mod 質數) \( n \leq 10^{18}, p \leq 1000\) => Lucas Theorem
在 n 個裡面取 k 個的方法數
AB 跟 BA 好難歸納
如果是 AA 跟 BB 呢
把第偶數個的 A 換成 B，B 換成 A，可以發現答案不變
那麼題目變成不能砍 AA 跟 BB
怎麼做？
他跟 "把 2n 個數配對，不能有一對數相同" 很像
事實上要是他們可以配對那一定找到一個方法刪除連續的兩個值
打架！
結論是只要 A 的個數跟 B 的個數都不超過 N/2 就合法
所以我們可以枚舉不合法的時候的 A 的數量，假設是 k
那麼就是 C(n,k) * 2^(n-k)
就做完了
雖然我當初好像不是這樣寫
一個小細節是這題的 N 很大
多考了一個線性預處理+O(1) 查 C(n,k)
你會需要 ifac[i] = fac[i]^(-1)
然後這可以倒著作回來
Lucas theorem
\( C^n_k \equiv \prod_{i=0} C^{n_i}_{k_i} \pmod p \)
\(n_i\) 跟 \(k_i\) 分別是 n 跟 k 轉成 p 進位每一個位的位元
例題：ARC 137 D
排容
我去年居然沒講到這個...
要計算幾個集合併集的大小，我們要先將所有單個集合的大小計算出來，然後減去所有兩個集合相交的部分，再加回所有三個集合相交的部分，再減去所有四個集合相交的部分，依此類推，一直計算到所有集合相交的部分。
copy by wikipedia
首先答案 = 橫排滿足條件 + 直排滿足條件 - 都滿足條件
前兩個很好算，比較難的是都滿足條件的那個
可以發現橫排直排都滿足條件，那麼他們顏色是相同的，且所有滿足條件的橫排的顏色都相同
所以假設我們固定其中一個橫排的顏色，那麼可以算出來滿足條件的個數
考慮對橫排個數排容，至少有 i 個橫排滿足條件的選法是
$$C_i^n(3^{n(n-i)}-(2^{n-i} - 1)^n)$$
所以都滿足條件的答案是
$$\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \cdot C_i^n(3^{n(n-i)}-(2^{n-i} - 1)^n)$$
題單
線代相關
高斯消去
把對角線以下的消掉
如果你要真正的幾何的話我前面有放
喔喔還有這個 CF 1776 I
數學-2
By alvingogo
數學-2
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