一個大家都玩過的遊戲(?)

來當五分鐘的哈佛學生

credit to: 台大資工b07 程式電神人生勝利組 Joe Tsai 蔡銘軒軒哥

好難喔:( 給個例子好了

要猜的次數	最多幾種可能	可以寫成

1

2

3

4

3

7

15

31

2^2-1

2^2-1

2^3-1

2^3-1

2^4-1

2^4-1

2^5-1

2^5-1

2^{\text{猜的次數+1}}-1 = \text{最多幾種可能}

2^{\text{猜的次數+1}}-1 = \text{最多幾種可能}

\text{猜的次數} = \log_2 ({\text{最多幾種可能}+1}) - 1

\text{猜的次數} = \log_2 ({\text{最多幾種可能}+1}) - 1

O(\log_2{(\text{n}+1}) - 1) = O(\log n)

O(\log_2{(\text{n}+1}) - 1) = O(\log n)

一直對半拆基本上都是log。

位置	0	1	2	3	4	5	6
陣列	1	4	7	8	10	13	15

位置	0	1	2	3	4	5	6
陣列	1	4	7	8	10	13	15

位置	0	1	2	3	4	5	6
陣列	1	4	7	8	10	13	15

基地台

題目: 在一條數線上，給定n個住家的位置。
你可以放置k個基地台，請問基地台的覆蓋半徑最小要設定成多少才可以蓋到所有住家?

(所有基地台的半徑一樣，
基地台可以自己設定。)

1

3

11

k = 1

k = 1

r最低設5

r最低設5

k = 2

k = 2

r最低設1

r最低設1

1

3

11

直徑=10

直徑=2

好難喔?

比較簡單的

題目:
給定n個住家位置，
可放置k個基地台，
基地台的覆蓋半徑最小
要多少才可以覆蓋全部住家?

k = 3

k = 3

1

3

11

題目‧改:
給定n個住家位置，
可放置k個基地台，
基地台的覆蓋半徑為r
問有沒有辦法覆蓋全部住家?

基地台

從左邊開始看，讓基地台的左界卡到第一個房子。
把第一個基地台可以覆蓋到的房子全部忽略。
重新回到第一步。

為什麼是對的?

5

9

12

時間複雜度: O(n)

時間複雜度: O(n)

步驟	題目·改 (給半徑看O不OK)	二分搜尋的次數	總共的時間複雜度
複雜度	O(n)	O(log D)	O( n log D )

(偽)倍增算法

答案的N，\\ 近在咫尺，卻遠在天邊...

答案的N，\\ 近在咫尺，卻遠在天邊...

可惡... \\要是知道r的話就可以用二分搜了...

可惡... \\要是知道r的話就可以用二分搜了...

啊...，N到底在哪裡呢?

啊...，N到底在哪裡呢?

(偽)倍增算法

2^0

2^0

2^1

2^1

2^2

2^2

2^3

2^3

....

....

2^{30}

2^{30}

2^{31}

2^{31}

哇! 看來你找到一個好的上界了!

2^{30}

2^{30}

2^{31}

2^{31}

5 \times 2^{30}

5 \times 2^{30}

只花了O(\log N)次!

只花了O(\log N)次!

找到上界後開始二分搜尋!

還是O(\log N)次

還是O(\log N)次

O(\log N)

O(\log N)

	int l = 1, r = 100;
	while(l != r){
	int mid = (l+r)/2;
	if (less(mid))
	r = mid-1;
	else
	l = mid;
	}
	guess(l);

	int l = 1, r = 100;
	while(r - l > 1){
	int mid = (l+r)/2;
	if (less(mid))
	r = mid-1;
	else
	l = mid;
	}
	if(r==l \|\| less(r))
	guess(l);
	else
	guess(r);

	int l = 1, r = 101;
	while(r - l != 1){
	int mid = (l+r)/2;
	if (less(mid))
	r = mid;
	else
	l = mid;
	}
	guess(l);

	int ary[] = {1, 4, 7, 8, 10, 13, 15}, x;
	cin >> x;
	int l = 0, r = 7;
	while (r - l != 1) {
	int mid = (r+l)/2;
	if (ary[mid] < x) {
	// mid是目前的最好答案，左邊都不用看。
	l = mid;
	} else {
	// mid右邊 > mid >= x，所以右邊都不用看。
	r = mid;
	}
	}
	cout << ary[l];

	#include <iostream>
	#include <algorithm>
	using namespace std;
	int ary[50001], n, k;
	// 判斷如果直徑為x，只能放k個，可不可以完成任務。
	bool is_ok(int x){
	int last = -x-1, now_put = 0;
	for(int i=0; i<n; i++){
	// 如果上一次放的基地台不能覆蓋到這個服務點，
	// 表示要覆蓋這個服務點勢必要多一個基地台。
	// 並且最好策略是是剛好讓這個服務點剛好在基地台的左界。
	if(last + x < ary[i]){
	// 多放一個。
	now_put ++;
	// 紀錄現在最靠右的基地台的左界在哪。
	last = ary[i];
	// 如果放超過k個表示不能完成任務，回傳false。
	if(now_put > k){
	return false;
	}
	}
	}
	// 一切沒事就回傳true，表示可以完成任務。
	return true;
	}
	int main(){
	cin >> n >> k;
	for(int i=0; i<n; i++)
	cin >> ary[i];
	// 先將服務點排序，比較好做事。
	sort(ary, ary+n);
	int L=0, R=1000000000;
	// 二分搜尋法尋找最小可以完成的個數
	while(R-L != 1){
	int mid = (L+R) / 2;
	// 如果mid可以完成任務，表示mid~R都可以完成任務，所以搜L~mid
	// 如果不行，就表示範圍在mid~R。
	if(is_ok(mid))
	R = mid;
	else
	L = mid;
	}
	cout << R << endl;
	return 0;
	}

Binary Search

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