演算法是什麼？

解決問題的方法

輸入 -> 方法 -> 輸出

問題：給一個數字，問說是不是質數

 

 

輸入：37

演算法：把每個小於它的數拿來除，看能否整除

輸出：Yes

 

問題：給一個數字，求排列組合

 

 

輸入：123

演算法：把數字的位置調換，直到出現所有組合

輸出：123, 132, 213, 231, 312, 321

 

演算法只是解決問題的方法

你不一定要懂程式

（但懂了會比較聽得懂）

怎麼評估演算法的好壞？

時間複雜度

平均狀態下，一個演算法需要多少時間來完成

http://bigocheatsheet.com/

搜尋

你有一個數列，當中有n個數字

一共有m次查詢，問你這個數字是否存在

 

n = 10

數列： 10, 1, 93, 12, 94, 11, 102, 4, 2, 38

 

怎麼查？

阿不就每次都從第一筆看到最後一筆嗎

 

時間複雜度：O(nm)

 

 

如果n跟m差不多的話，可以看作是O(n^2)

每次要找數字，都一定要從第一個查到最後一個

 

有沒有更好的做法？

如果我們的數列是排序過的，會發生什麼事？

 

 10, 1, 93, 12, 94, 11, 102, 4, 2, 38

排序過後： 1, 2, 4, 10, 11, 12, 38, 93, 94, 102

 

利用排序過後的特性（後面一定大於前面）

可以做些什麼事情？

大家有玩過終極密碼嗎

 

關主先指定一個數字跟範圍

例如說1~100，答題者不斷猜數字，猜中就贏了

最快的方法是什麼？

 

 

終極密碼（假設答案是1）

• 第一次猜50，範圍變1~49
• 第二次猜25，範圍變1~24
• 第三次猜12，範圍變1~11
• 第四次猜6，範圍變1~5
• 第五次猜3，範圍變1~2
• 第六次猜2，範圍變1~1
• 第七次猜1，猜中

終極密碼（假設答案是27）

• 第一次猜50，範圍變1~49
• 第二次猜25，範圍變26~49
• 第三次猜37，範圍變26~36
• 第四次猜31，範圍變26~31
• 第五次猜28，範圍變26~27
• 第六次猜26，範圍變27~27
• 第七次猜27，猜中

假設現在有2個數字，猜2次一定可以猜中

假設現在有4個數字，猜3次一定可以猜中

假設現在有8個數字，猜4次一定可以猜中

1 2 3 4 5 6 7 8，如果我猜4，答案有三種

第一種是答案就是4，那就中了

第二種是範圍變成剩1, 2, 3可以猜

第三種是範圍變成剩5, 6, 7, 8可以猜

依據上面所推出的，4個數字猜3次一定可以猜中

 

以此類推，16個數字，猜5次一定中

32個數字，猜6次，64個猜七次，128個猜八次

所以100個數字，猜7次一定可以猜中

回到我們剛才的搜尋

1, 2, 4, 10, 11, 12, 38, 93, 94, 102

一共十個數字

假設現在要找3有沒有在裡面

 

先找最中間的數字，12，發現3<12

所以如果3在數列裡，範圍一定是12的左邊

 

1, 2, 4, 10, 11, 12, 38, 93, 94, 102

再找範圍內最中間的數字，4，發現3<4

所以如果3在數列裡，範圍一定是4的左邊，

 

1, 2, 4, 10, 11, 12, 38, 93, 94, 102

再找範圍內最中間的數字，2，發現2>3

所以如果3在數列裡

範圍一定是2的右邊，4的左邊

發現範圍裡面沒數字了，所以找不到

 

1, 2, 4, 10, 11, 12, 38, 93, 94, 102

二分搜尋法

Binary Search 

 

藉由排序過後的特性，一直從中間切切切切切

就不必從頭到尾找數字，而是能更有方法、效率地去找

時間複雜度從原本的O(n^2)變成             

排序

最重要的小事

 

排序視覺化

選擇排序法

Selection Sort

 

從還沒排序的數列裡面找到最小的，然後移到最左邊

 

泡沫排序法

Bubble Sort

 

由左到右兩兩比較，把比較大的數字往右邊移

也因為這樣，可以想成是比較大的數字會「浮上來」

因此取名叫做泡沫排序法

 

插入排序法

Insertion Sort

 

其實就是你玩撲克牌的時候，會用到的排序法

從左邊開始，把每一張牌都插入到應該在的位置

 

合併排序法

Merge Sort

 

有一種方法叫做Divide and Conquer

把大問題分割成小問題，把小問題解決以後，大問題也解決了

 

 

 

 

假設你現在有個數列是1, 4, 3, 7, 9, 2, 5, 8

分割成兩半，1, 4, 3, 7跟9, 2, 5, 8

個別做好排序以後，就是1, 3, 4, 7跟2, 5, 8, 9

 

那現在要怎麼把兩個排序好的數列變成一個？

很簡單，你先看兩邊最左邊的數字，發現1比較小

於是就放1，再來看左邊第二個跟右邊第一個，取2

接著左二(3)跟右二(5)，取左二

再來左三(4)跟右二(5)，取左三

再來左四(7)跟右二(5)，取右二

以此類推

最後就可以組合出一個排序好的數列

 

快速排序法

Quick Sort

 

顧名思義，就是很快的排序法

挑選一個基準點（pivot）

保證左邊的數字都小於它，右邊的數字都大於它

然後對左右兩邊重複此項操作

 

 

 

特殊的排序法

100萬個數字

數字範圍都在1~100以內

如何排序？

計數排序

Count Sort

 

因為數字的範圍遠比數字數量小太多了

所以我們可以用計數的方法

算算個1有幾個, 2有幾個...100有幾個

就可以達成排序的效果了