Slembimargliður og núllstöðvar þeirra
Benedikt Steinar Magnússon <bsm@hi.is>
Háskóli Íslands
Stærðfræði á Íslandi 2017
Bifröst, 28. okt.
Rætur margliða
Rætur annars stigs margliðu: \(az^2+bz + c = 0\)
z_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\qquad
z_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
z_k = - \frac 1{3a} \left( b+C + \frac{b^2-3ac}C \right), \quad
k=0,1,2
Rætur þriðja stigs margliðu: \( az^3+bz^2+cz +d = 0\)
þar sem
C = \sqrt[3]{ \frac{ 2b^3-9abc+27a^2 d \pm \sqrt{ (2b^3-9abc+27a^2 d)^2-4(b^2-3ac)^3}}{2}}
Einnig til formúla fyrir fjórða stigs margliður
... en fyrir margliður af stigi \(n\geq 5\)?
Abel-Ruffini setningin:
Ekki er til almenn lausnarformúla fyrir allar jöfnur af stigi \( n\geq 0\).
En hvar eru ræturnar?
Undirstöðusetning algebrunnar:
Margliða af stigi \(n\) hefur \(n\) rætur (taldar með margfeldni).
Hvar eru ræturnar þegar \( n\) verður stórt?
Prófum nokkrar margliður
P_n(z) = \sum_{k=0}^n a_n z^n
Þar sem \(a_n\) eru einsdreifðar óháðar normlegar tvinntölur með væntigildi 0 og dreifni 1.
Skilgreinum
\(n=1,...,200\)
Niðurstaða
Þegar \( n \to +\infty\) þá stefna núllstöðvar \(P_n\) á að safnast fyrir jafndreift á einingarhringnum.
Þurfum að útskýra hvað þetta þýðir nákvæmlega.
Fyrir margliðu \(P_n\) af stigi \(n\) skilgreinum við líkindamál
þar sem \(z_k\) eru rætur \(P_n\) og \(\partial_{z_k}\) er punktmassi í \(z_k\).
Niðurstaðan er að
M_{P_n} := \frac 1n\sum_{k=1}^n \delta_{z_k}
M_{P_n} \to \frac 1{2\pi} d\sigma, \quad \text{þegar } n\to +\infty
þar sem \( d\sigma \) er bogmálið á einingarhringunum.
Skoðum málin
þýðir í rauninni að fyrir sérhvert samfellt fall \(f\) þá gildir að
Reyndir tvinnfallafræðingar þekkja þessi mál því
og
þar sem
er Laplace virkinn.
\frac 1n\sum_{k=1}^n f(z_k) \to \frac 1{2\pi} \int_{|z|=1} f\, d\sigma
M_{P_n} \to \frac 1{2\pi} d\sigma, \quad \text{þegar } n\to +\infty
\frac {1}{2\pi} d\sigma = \Delta \max
\{\log|z|, 0\}
M_{P_n} = \Delta \frac 1n\log|P_n|
\Delta = \frac {\partial^2}{\partial^2 x} +
\frac {\partial^2}{\partial^2 y}
Útúrdúr
Fallið \( \max\{0, \log|z| \} \) er yfirleitt táknað \( \log^+|z| \) og er vel þekkt í tvinnfallagreiningu.
V_{U}(z) := \sup\{ \frac 1{deg(P)} \log|P(z)| ; P \text{ margliða }, \|P\|_U \leq 1 \}
Skilgreining: Fyrir \( U \subset \mathbb C \) þá skilgreinum við útgildisfallið fyrir \( U \) með
Ef \( U= \{ |z| < 1 \} \) þá er
\[ V_U(z) = \log^+|z| \]
Skoðum \( \max\{\log|z|,0\} \)
Tökum eftir að
Við skrifuðum margliðurnar á forminu
\[ P_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k \]
\max\{ 0, \log|z| \} = \lim_{n \to +\infty} \frac 1{2n} \log \sum_{k=0}^n |z^k|^2
Er kannski galdurinn fólginn í \( z^k \)?
Það er, ákvarðar formið á margliðunum það að við fáum út einingarhringinn?
Afhverju einingarhringinn
Föllinn \( z^k \) mynda grunn fyrir rúm allra margliða.
þar sem \( \lambda \) er flatarheildið yfir einingarskífuna.
\langle f,g \rangle = \int f\overline g d\lambda
Þetta er auk þess þverstæður grunnur með tilliti til staðalsins
Lokaniðurstaða
Setning: Gerum ráð fyrir að \( U \subset \mathbb C \) sé opið, samanhangandi og einfaldlega samanhangandi. Látum \( \rho_k \) vera grunn fyrir rúm margliða sem er þverstaðlaður með tilliti til flatarheildisins yfir \( U \).
Þá er
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac 1{2n}\log \sum_{k=0}^n \rho_k(z)\overline{\rho_k(z)} = V_U(z) \] í jöfnum mæli á þjöppuðum mengjum í \( C \).
Auk þess, ef \[ P_n = \sum_{k=0}^n a_k \rho_k(z) \] er runa af slembimargliðum þá gildir næstum örugglega að
\[ \frac 1n \log|P_n(z)| \to V_U(z) \]
Lokaniðurstaða
auk þess þá gildir að
\[ \Delta \frac 1n \log|P_n(z)| \to \Delta V_U(z) \]
Málið \( \Delta V_U \) kallast jafnvægismálið fyrir \( U \) og ákvarðast ótvírætt af því að það lágmarkar orkuna
\[ -\int \int \log|z-w| d\nu(z) d\nu(w) \]
Slembimargliður og núllstöðvar þeirra
By benediktmagnusson
