數學？

我才不會數學

數論

數論主要是在探討整數的性質，特別是整數方程式、整數之間的整除關係與同餘關係等。

先從質因數開始！

vector<pair<long long,int>> factorize(long long n) {
    vector<pair<long long,int>> res;
    for(long long i = 2; i*i <= n; i++) if(n % i == 0) {
    	int j = 0;
        while(n % i == 0) n /= i, ++j;
        res.emplace_back(i, j);
    }
    if(n > 1) res.emplace_back(n, 1);
    return res;
}

vector<long long> divisors(long long n) {
    vector<long long> res;
    for(long long i = 1; i*i <= n; i++) if(n % i == 0) {
    	res.push_back(i);
        if(i*i != n) res.push_back(n / i);
    }
    return res;
}

質數篩

gcd and extended gcd

  • 交換律、結合律、單位元
  • \( \gcd(a, b) = \gcd(a, b \pm a) \)
  • Bézout's lemma

同餘

  • \( +, -, \times \)
  • 溢位
  • \( \div \)
  • 偶爾可以展開定義(?

「\( \div \)」 ？！

  • extgcd
  • 費馬小定理
  • \( \mathcal{O}(N) \) 建 inverse

Misc

  • 威爾遜定理(?)
  • \( \varphi(n), \mu(n) \)
  • 數論分塊
  • 因數的個數

線性代數

定義

  • \( (V, F, +: V \times V \to V ,\cdot: F \times V \to V) \)
  • 加法有交換律、結合律、單位元、反元素
  • 純量乘法有結合律、分配律、單位元
  • 要不要介紹線性獨立線性相依啊QQ
  • 沒人在乎定義

例子

  • \( \mathbb{R}^n \)：n 維座標向量
  • \( \mathbb{Z}_2^n \)：二進位 xor
  • \( M_{n\times n}[F] \)：大小 n 的方陣
  • \( \{f | f: X \to Y \} \)：函數們(?)

矩陣

  • 加法、乘法
  • 矩陣快速冪、線性遞迴
  • 高斯消去法（聯立方程式）
  • 行列式、反矩陣
  • 維護 basis （xor）

排列組合

組合數

  • 科學記號：斯特靈公式 \(n! \approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n\)
  • 模質數：預處理階乘 & 階乘的逆
  • 模任意數：\(n^2\) 預處理
  • 盧卡斯

卡特蘭數

  • \(n\)個節點的有根二元樹的種類
  • 合法括弧匹配的字串種類
  • 從棋盤左上走到右下不經過對角線(?)的方法數

排容原理

  • \(2^k\) 項 加減交錯
  • 跟 \( \mu(n) \) 有關
  • 高維前綴和 / BIT (?)
\displaystyle \left| \bigcup_{A \in S} A \right| + \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|}\left| \bigcap_{A \in T} A \right| = 0

題單

題單

線代的題好少

  • 維護最大 \( a_i \oplus a_j \)
  • 維護可不可以用 \(a_i\) 湊出某個 \(x\)
  • 實作高斯消去法、求反矩陣

一些有趣的題目

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By bingxuan9112

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