生成函數

Basic Idea

簡單的乘法公式蘊含排列組合的意義

\begin{matrix} & & (1+ax)(1+bx)(1+cx)\\ &= & 1 + ax+bx+cx + abx^2+bcx^2+cax^2 + abcx^3 \\ &= & 1 + (a+b+c)x + (ab+bc+ca)x^2 + (abc) x^3 \end{matrix}

\begin{matrix} & & (1+ax)(1+bx)(1+cx)\\ &= & 1 + ax+bx+cx + abx^2+bcx^2+cax^2 + abcx^3 \\ &= & 1 + (a+b+c)x + (ab+bc+ca)x^2 + (abc) x^3 \end{matrix}

\displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k

\displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k

Definition

定義一個數列 $\langle a_n \rangle$ 的一般生成函數如下

(又稱形式幂級數、組合生成函數)

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k

順便定義 $x^k$ 的係數是 $F[x^k] = a_k$

$a_n \in F$

~~聽說 F 要是一個 Field~~

~~還有這邊先不要管 x 收不收斂~~

加法減法應該不用解釋吧@@

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \\ G = g(x) = \sum_{k=0}^\infty b_k x^k

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \\ G = g(x) = \sum_{k=0}^\infty b_k x^k

\displaystyle F \pm G = \sum_{k=0}^\infty (a_k \pm b_k) x^k

\displaystyle F \pm G = \sum_{k=0}^\infty (a_k \pm b_k) x^k

Multiplication

可以想成 $a_n$ 就代表「拿 $n$ 個的方法數」

那如果現在有兩種物品，拿 $n$ 個的方法數分別是 $a_n, b_n$

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \\ G = g(x) = \sum_{k=0}^\infty b_k x^k

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \\ G = g(x) = \sum_{k=0}^\infty b_k x^k

\displaystyle (FG)[x^n] = \sum_{i+j=n} a_i b_j

\displaystyle (FG)[x^n] = \sum_{i+j=n} a_i b_j

那麼我們把他們乘在一起得到的多項式就代表總共拿了 $n$ 個的方法數

m(_ _)m

\displaystyle (a * b)_n = \sum_{i+j=n} a_i b_j

\displaystyle (a * b)_n = \sum_{i+j=n} a_i b_j

隨便啦，反正就是卷積

Practice

$a_i = [i = 0]$
$a_i = 1$
$a_i = C(n, i)$
$a_i = \alpha^i$
$a_i = i$
現在有三種水果，分別有 $a$ 個、 $b$ 顆、 $c$ 粒，兩種方案被視為不同若且惟若至少有一種水果的數量不同，請寫出拿「總共數量為 $n$ 的水果」方法數的生成函數
傳說中好吃的蛋餅，一次只能買奇數個，請寫出買 $n$ 個蛋餅可能的購買方法的生成函數
不要給出包含sigma符號的答案喔> <

Example

費式數列？

$a_0=0, a_1=1, a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$

\begin{matrix} F &= & a_0 &+ & a_1x &+ & a_2x^2 &+ & a_3x^3 &+ & \cdots \\ xF &= & & & a_0x &+ & a_1x^2 &+ & a_2x^3 &+ & \cdots \\ x^2F &= & & & & & a_0x^2 &+ & a_1x^3 &+ & \cdots \end{matrix}

\begin{matrix} F &= & a_0 &+ & a_1x &+ & a_2x^2 &+ & a_3x^3 &+ & \cdots \\ xF &= & & & a_0x &+ & a_1x^2 &+ & a_2x^3 &+ & \cdots \\ x^2F &= & & & & & a_0x^2 &+ & a_1x^3 &+ & \cdots \end{matrix}

\begin{matrix} (1-x-x^2)F &= & a_0 + (a_1-a_0)x \\ F &= & \cfrac{x}{1-x-x^2} \end{matrix}

\begin{matrix} (1-x-x^2)F &= & a_0 + (a_1-a_0)x \\ F &= & \cfrac{x}{1-x-x^2} \end{matrix}

Example

卡特蘭數

不同構的n個節點二元樹的數量

Common Tricks - Elementary

部分分數

F = \cfrac{x}{1-x-x^2}

F = \cfrac{x}{1-x-x^2}

咦？我不會除法QQ

= \cfrac{A}{1-\alpha x} + \cfrac{B}{1-\beta x}

= \cfrac{A}{1-\alpha x} + \cfrac{B}{1-\beta x}

其中 $\alpha, \beta$ 是分母的兩個根

review: $\cfrac{1}{1-rx} = \sum\limits_{k=0}^\infty{r^kx^k}$

所以 $F[x^n] = A\alpha^n + B\beta^n$

Common Tricks - Calculus

微積分！

微分 - 簡介

「惟天下之靜者乃能見微而知著。」

若 $f(x)$ （ $f$ ）為一個函數，則將 $f$ 的微分寫作 $f'$ 。

微分代表

一個函數的斜率

微分 - 規則

(notation) $\frac{\text{d}f}{\text{d}x}$ 為

「若變化 $x$ 的值一點點，那 $f$ 會變化多少？」

\begin{matrix} (x^n)'&=& nx^{n - 1}\\ (f + g)' &=& f' + g'\\ (fg)' &=& f'g + g'f\\ (f \circ g)' &=& (f'\circ g) \cdot g' \end{matrix}

\begin{matrix} (x^n)'&=& nx^{n - 1}\\ (f + g)' &=& f' + g'\\ (fg)' &=& f'g + g'f\\ (f \circ g)' &=& (f'\circ g) \cdot g' \end{matrix}

（單項式微分）

（連鎖律）

（乘法）

（加法）

Note: $f\circ g = f(g)$

Ex. 簡簡單單

若 $a_i = i$ ，請找出 $\langle a_i\rangle$ 的生成函數？

\begin{matrix} f(x) &=& 1 + x + x^2 + x^3 + \dots&=& \frac{1}{1 - x}\\ f'(x) &=& 1 + 2x + 3x^2 + \dots &=& \frac{1}{(1 - x)^2}\\ \end{matrix}

\begin{matrix} f(x) &=& 1 + x + x^2 + x^3 + \dots&=& \frac{1}{1 - x}\\ f'(x) &=& 1 + 2x + 3x^2 + \dots &=& \frac{1}{(1 - x)^2}\\ \end{matrix}

所以 $\frac{1}{(1 - x)^2}$ 即為所求！

Ex. 比較不簡簡單單

若 $a_i = i^2$ ，請找出 $\langle a_i\rangle$ 的生成函數？

\begin{matrix} f(x) &=& 1 + x + x^2 + x^3 + \dots&=& \frac{1}{1 - x}\\ f'(x) &=& 1 + 2x + 3x^2 + \dots &=& \frac{1}{(1 - x)^2}\\ \end{matrix}

\begin{matrix} f(x) &=& 1 + x + x^2 + x^3 + \dots&=& \frac{1}{1 - x}\\ f'(x) &=& 1 + 2x + 3x^2 + \dots &=& \frac{1}{(1 - x)^2}\\ \end{matrix}

但是還不夠耶

Ex. 比較不簡簡單單

若 $a_i = i^2$ ，請找出 $\langle a_i\rangle$ 的生成函數？

\begin{matrix} f'(x) &=& 1 + 2x + 3x^2 + \dots &=& \frac{1}{(1 - x)^2}\\ xf'(x) &=& x + 2x^2 + 3x^3 + \dots &=& \frac{x}{(1 - x)^2}\\ (xf'(x))' &=& 1 + 4x + 9x^2 + \dots &=& \frac{(1 - x)^2 + 2x(1 - x)}{(1 - x)^4}\\ \end{matrix}

\begin{matrix} f'(x) &=& 1 + 2x + 3x^2 + \dots &=& \frac{1}{(1 - x)^2}\\ xf'(x) &=& x + 2x^2 + 3x^3 + \dots &=& \frac{x}{(1 - x)^2}\\ (xf'(x))' &=& 1 + 4x + 9x^2 + \dots &=& \frac{(1 - x)^2 + 2x(1 - x)}{(1 - x)^4}\\ \end{matrix}

只是需要一點巧思嘛！

積分 - 簡介

「積土成山，風雨興焉；積水成淵，蛟龍生焉；積而算之，題AC焉」

若 $f$ 為一個函數，則將 $f$ 的積分寫作 $\int f$ 。

積分代表

一個函數地下的面積

積分 - 規則

\begin{matrix} \int x^n dx &=& \frac{1}{x^{n + 1}} x^n\\ \int f + \int g &=& \int (f + g) \\ \int f'g &=& fg - \int fg'\\ (\int f)' &=& \int (f') = f \end{matrix}

\begin{matrix} \int x^n dx &=& \frac{1}{x^{n + 1}} x^n\\ \int f + \int g &=& \int (f + g) \\ \int f'g &=& fg - \int fg'\\ (\int f)' &=& \int (f') = f \end{matrix}

（單項式微分）

（分布積分）

（加法）

積分和微分互為反運算！

習題省略反正跟微分差不多

FFT與基本運算（？

$O(n)$ (trivial)

加減
微分
積分
平移（乘或除 $x^k$ ）

Was ist FFT?

Point-Value representation

Coefficient representation

$(a, f(a)), (b, f(b)), \dots (jizz, f(jizz))$

$f(x) = \sum a_kx^k$

運算簡單

運算不簡單

https://omeletwithoutegg.github.io/2019/12/25/FFT-NTT/

我好懶

推 >< by Sean

Was ist FFT?

Point-Value representation

Coefficient representation

乃衣服： $O(n^2)$

FFT： $O(n \log n)$

Was ist FFT?

Definitions & Basic Properties

\omega_{n}^k = e^{\frac{2\pi i \cdot k}{n}} = \cos(\frac{2\pi i \cdot k}{n}) + i\sin(\frac{2\pi i \cdot k}{n})

\omega_{n}^k = e^{\frac{2\pi i \cdot k}{n}} = \cos(\frac{2\pi i \cdot k}{n}) + i\sin(\frac{2\pi i \cdot k}{n})

讀： $n$ 次原根的 $k$ 次方

若 $n$ 為偶數，則 $\omega^{k + \frac{n}{2}}_{n} = -\omega^k_n$
若 $x \in \mathbb{N}$ ，則 $\omega^{k + xn}_{n} = \omega^k_n$
若 $x \in \mathbb{N}$ ，則 $\omega^{xk}_{xn} = \omega^k_n$

Was ist FFT?

Problem Statement

現在，給定一個函數 $f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k x^k$ ，請求 $(1, f(1)), (\omega_n, f(\omega_n), (\omega_n^2, f(\omega_n^2)) \dots (\omega_n^{n - 1}, f(\omega_n^{n - 1})$ ？

矩陣表示法

以後，我們將假設 $n$ 為 $2$ 的冪次。若不是，則可以補零到是就好了。

TL;DR： $n = 2^l$

Was ist FFT?

$n \log n$ Speedup

$f(x) = E(x^2) + xO(x^2)$

假設 $O(x) = \sum_{k =0} a_{2k+1}x^k$ ， $E(x) = \sum_{k =0} a_{2k}x^k$

Was ist FFT?

$n \log n$ Speedup

$f(x) = E(x^2) + xO(x^2)$

若 $O[k] = O(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})$ ， $E[k] = E(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})$ ，所求 $f[k] = f(\omega_n^k)$

遞迴計算的結果

\begin{matrix} f[k] &=& E(\omega_{2\cdot\frac{n}{2}}^{2k}) + \omega_n^kO(\omega_{2\cdot\frac{n}{2}}^{2k})\\ &=& E(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) + \omega_n^kO(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})\\ &=& E[k] + \omega_n^k O[k] \end{matrix}

\begin{matrix} f[k] &=& E(\omega_{2\cdot\frac{n}{2}}^{2k}) + \omega_n^kO(\omega_{2\cdot\frac{n}{2}}^{2k})\\ &=& E(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) + \omega_n^kO(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})\\ &=& E[k] + \omega_n^k O[k] \end{matrix}

Was ist FFT?

$n \log n$ Speedup

\begin{matrix} f[k] &=& E(\omega_{2\cdot\frac{n}{2}}^{2k}) + \omega_n^kO(\omega_{2\cdot\frac{n}{2}}^{2k})\\ &=& E(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) + \omega_n^kO(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})\\ &=& E[k] + \omega_n^k O[k]\\ f[k + \frac{n}{2}] &=& E[k] - \omega_n^k O[k] \end{matrix}

\begin{matrix} f[k] &=& E(\omega_{2\cdot\frac{n}{2}}^{2k}) + \omega_n^kO(\omega_{2\cdot\frac{n}{2}}^{2k})\\ &=& E(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) + \omega_n^kO(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})\\ &=& E[k] + \omega_n^k O[k]\\ f[k + \frac{n}{2}] &=& E[k] - \omega_n^k O[k] \end{matrix}

Was ist FFT?

$n \log n$ Speedup

T(n) = O(n) + 2T(\frac{n}{2}) \implies T(n) = O(n\log n)

T(n) = O(n) + 2T(\frac{n}{2}) \implies T(n) = O(n\log n)

Was ist FFT?

And then...

但是...

有了這堆東西...

除了炫耀還能幹嘛啊？

感覺還需要一個東西轉回去⋯⋯

Was ist FFT?

Inverse FFT

還記得FFT有矩陣表示方式嗎： $A_{ij} = \omega_n^{ij}$ （0 base）

那可以證明， $(A^{-1})_{ij} = \frac{\omega_n^{-ij}}{n}$ 哦！

\text{let } B_{ij} = \frac{\omega_n^{-ij}}{n} \\ \begin{matrix} (AB)_{ij} &=& \sum_k A_{ik}B_{kj} \\\\ &=& \frac{1}{n}\sum_k \omega_n^{-ik} \times \omega_n^{kj}\\\\ &=& \frac{1}{n}\sum_k \omega_n^{k(j - i)} \\\\ &=& [i = j] \end{matrix}

\text{let } B_{ij} = \frac{\omega_n^{-ij}}{n} \\ \begin{matrix} (AB)_{ij} &=& \sum_k A_{ik}B_{kj} \\\\ &=& \frac{1}{n}\sum_k \omega_n^{-ik} \times \omega_n^{kj}\\\\ &=& \frac{1}{n}\sum_k \omega_n^{k(j - i)} \\\\ &=& [i = j] \end{matrix}

（ $i\neq j$ 的時候是和為0的等比級數）

const double PI = acos(-1);
typedef complex<double> cd;
vector<cd> FFT(const vector<cd> &F, bool inv) { // assume F.size() == 2^k
	if(F.size() == 1) return F; // base case (important)
	vector<cd> rec[2];
	for(int i = 0; i < F.size(); i++) rec[i&1].push_back(F[i]);
	rec[0] = FFT(rec[0],inv);
	rec[1] = FFT(rec[1],inv);
	double theta = (inv ? 1 : -1) * 2 * PI / F.size();
	cd now = 1, omega(cos(theta), sin(theta));
	vector<cd> ans(F.size());
	for(int i = 0; i < F.size()/2; i++) {
		ans[i] = rec[0][i] + now * rec[1][i];
		ans[i+F.size()/2] = rec[0][i] - now * rec[1][i];
		now *= omega;
	}
	if(inv) for(int i = 0; i < ans.size(); i++) ans[i] /= 2;
	return ans;
}

註：為求效率，也可以寫成迴圈版本，避免遞迴

const double PI = acos(-1);
typedef complex<double> cd;
void FFT(cd F[], int n, bool inv) { // in-place FFT, also assume n = 2^k
	for(int i = 0, j = 0; i < n; i++) {
		if(i < j) swap(F[i], F[j]);
		// magic! (maintain j to be the bit reverse of i)
		for(int k = n>>1; (j^=k) < k; k>>=1);
	}
	for(int step = 1; step < n; step <<= 1) {
		double theta = (inv ? 1 : -1) * PI / step;
		cd omega(cos(theta), sin(theta));
		for(int i = 0; i < n; i += step*2) {
			cd now(1,0);
			for(int j = 0; j < step; j++) {
				cd a = F[i+j];
				cd b = F[i+j+step] * now;
				F[i+j] = a+b;
				F[i+j+step] = a-b;
				now *= omega;
			}
		}
	}
	if(inv) for(int i = 0; i < n; i++) F[i] /= n;
}

扣的

power

~~Implement an operation that is equivalent to the operation $DFT^P$ , where $DFT$ is the discrete Fourier transform.~~

A * B = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}A \odot \mathcal{F}B) \\ A * B * C = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}A \odot \mathcal{F}B \odot \mathcal{F}C) \\ (A * A * \cdots) = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}A \odot \mathcal{F}A \odot \cdots)

A * B = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}A \odot \mathcal{F}B) \\ A * B * C = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}A \odot \mathcal{F}B \odot \mathcal{F}C) \\ (A * A * \cdots) = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}A \odot \mathcal{F}A \odot \cdots)

一種方法是先取ln，乘上倍數後再exp

另一種方法則是

inverse

牛頓逼近法

Q_0 = (A[x^0]) ^ {-1} \\ Q_{k+1} = Q_k(2-AQ_k) \pmod {x^{2^k}}

Q_0 = (A[x^0]) ^ {-1} \\ Q_{k+1} = Q_k(2-AQ_k) \pmod {x^{2^k}}

結論：

division and modulo

結論：

$A(x) = B(x)Q(x) + R(x)$

設 $n = \deg A \geq m = \deg B$

則 $\deg Q = n-m, \deg R < m$

rev(Q) \equiv rev(A) rev(B)^{-1} \pmod {x^{n-m+1}}

rev(Q) \equiv rev(A) rev(B)^{-1} \pmod {x^{n-m+1}}

ln, exp, sqrt, etc...

其他生成函數

當你想要考慮物件的順序的時候可以考慮「指數生成函數」

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{x^k}{k!}

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{x^k}{k!}

光維基上神奇的生成函數就好多 OAO

例如什麼跟數論函數有關的Lambert、Dirichlet之類的

理論上只要保證解析函數 $\mu_k(x)$ 線性獨立

$\sum_{k=0}^\infty a_k \mu_k(x)$ 應該都可以拿來用吧（？）

例如 $\mu_k(x) = \cos(kx)$ 之類的

~~以上言論若有錯誤不負責~~

指數生成函數的乘法

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{x^k}{k!} \\ G = g(x) = \sum_{k=0}^\infty b_k \frac{x^k}{k!} \\ FG = \sum_{k=0}^\infty (\sum_{i+j=k}\binom{k}{i} a_i b_j) \frac{x^k}{k!}

\displaystyle F = f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{x^k}{k!} \\ G = g(x) = \sum_{k=0}^\infty b_k \frac{x^k}{k!} \\ FG = \sum_{k=0}^\infty (\sum_{i+j=k}\binom{k}{i} a_i b_j) \frac{x^k}{k!}

取數個物品A和物品B，共取n個

排列順序不同算不同方式的方法數

Example

考慮一個排列 $p$ ，令 $f(p)$ 表示每次操作可以交換任意兩個數字的位置時，排序好這個排列所需要的最少次數

對於 $i = 1, 2, \dots, n$

求有多少種排列使得 $|p|=i, f(p) = i-2$

Example

可以知道題目就是要求有兩個環的排列

我們先考慮恰是一個環的排列，有 $(n-1)!$ 種方法數

那麼從 $n$ 個元素裡面選出 $k$ 個分給第一個環，另外 $n-k$ 個分給第二個環，也就是

$\sum_k \binom{n}{k}(k-1)! (n-k-1)!$

令 $\displaystyle F = \sum_{k=0}^n (k-1)! \frac{x^k}{k!}$

所求就是 $\frac{1}{2}F^2$

推廣

恰好有 $k$ 個環？
環的個數介在 $L, R$ 之間？

習題（或例題）QQ

連講師都不會

對於⼀個集合 $S$ ，定義 $f_S(n)$ 為將 $n$ 寫成 $S$ 裡⾯的元素的和的⽅法數（元素可重複）。
給定 $n, p$ ，請求出 $f_S(1), f_S(2), \dots, f_S(n)$ 模 $p$ 的餘數。
對於一個長為 $n−2$ 的序列，元素為 $[1,n]$ 中的整數，且出現次數最多的元素出現 $m−1$ 次，求不同的序列個數。 $n, m \leq 5 \times 10^4$
隨機給⼀個⼤⼩為 $n$ 的有根⼆元樹，試問葉節點個數的期望值
隨機給⼀個⼤⼩為 $n$ 的有根⼆元樹，試問葉節點個數平方的期望值
有 $n$ 顆（不同的）珍珠，⽤ $D$ 個顏⾊去塗⾊，試問⾄少能湊出 $m$ 對相同顏色珍珠的⽅法數
上面幾題是從AY的講義抄來的，好像其實有OJ不過我懶得列出來

no judge (?)

Fuzzy Search 系列

TIOJ 1035

CF 528D

K-neighbor substring

Red-White Fence CF 1251 F

Sum the Fibonacci CF 914 G

The Child and Binary Tree CF 438 E

Painting Square CF 300 D

Nikita and Order Statistics CF 993 E

Divisor Set CF 1257 G

Sum of Fibonacci Sequence

Many Easy Problems

AGC

其實我也不會好爽喔

Power of quantum Fourier transform

https://codeforces.com/contest/1357/problem/E1

FFT與生成函數

生成函數

Basic Idea

Definition

Multiplication

隨便啦，反正就是卷積

Practice

Example

Example

Common Tricks - Elementary

部分分數

Common Tricks - Calculus

微分 - 簡介

微分 - 規則

Ex. 簡簡單單

Ex. 比較不簡簡單單

Ex. 比較不簡簡單單

積分 - 簡介

積分 - 規則

習題省略 反正跟微分差不多

FFT與基本運算（？

Was ist FFT?

Was ist FFT?

Was ist FFT?

Was ist FFT?

Was ist FFT?

Was ist FFT?

Was ist FFT?

Was ist FFT?

Was ist FFT?

Was ist FFT?

扣的

power

inverse

結論：

division and modulo

ln, exp, sqrt, etc...

其他生成函數

指數生成函數的乘法

Example

考慮一個排列 ppp，令 f(p)f(p)f(p) 表示每次操作可以交換任意兩個數字的位置時，排序好這個排列所需要的最少次數

對於 i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, ni=1,2,…,n

求有多少種排列使得 ∣p∣=i,f(p)=i−2|p|=i, f(p) = i-2∣p∣=i,f(p)=i−2

Example

推廣

Common Series

習題（或例題）QQ

no judge (?)

Fuzzy Search 系列

AGC

其實我也不會 好爽喔

Power of quantum Fourier transform

參考資料

generating-functions

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習題省略反正跟微分差不多

考慮一個排列 $p$ ，令 $f(p)$ 表示每次操作可以交換任意兩個數字的位置時，排序好這個排列所需要的最少次數

對於 $i = 1, 2, \dots, n$

求有多少種排列使得 $|p|=i, f(p) = i-2$

其實我也不會好爽喔