Davide Murari
A PhD student in numerical analysis at the Norwegian University of Science and Technology.
METODI DI COLLOCAZIONE
IDEA DI BASE
Voglio approssimare la soluzione di
$$\begin{cases} \dot{y}(t) = f(t,y(t))\\ y(t_0)=y_0 \end{cases}$$
e lo faccio calcolando un polinomio \(u(t)\) di grado \(s\) che soddisfa
- \(u(t_0)=y_0\)
- \(\dot{u}(t_0+c_ih)=f(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))\), \(i=1,...,s\)
con \(c_1,...,c_s\in [0,1]\).
L'approssimazione di \(y(t_0+h)\) che considero sarà quindi \(y_1=u(t_0+h)\)
VISUALIZZAZIONE
\(y_1=u(t_0+h)\)
\(y_0\)
\(u(t_0+c_1h)\)
\(u(t_0+c_2h)\)
\(u(t_0+c_3h)\)
\(f(t_0+c_1h,u(t_0+c_1h))\)
\(f(t_0+c_2h,u(t_0+c_2h))\)
\(f(t_0+c_3h,u(t_0+c_3h))\)
La curva bianca non è la soluzione esatta, che non conosciamo..ma il polinomio \(u(t)\)
DERIVAZIONE
La condizione
\(\dot{u}(t_0+c_ih)=f(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))\)
ci dice che la derivata del polinomio è un polinomio interpolante di \(f\). Esso sarà un polinomio di grado \(s-1\).
Visto ciò che sappiamo dell'interpolante di Lagrange, possiamo scrivere
$$ \dot{u}(t) = \sum_{i=1}^s f(t_i,u(t_i))$$ con \(t\in [t_0,t_0+h]\), e \(t_i=t_0+c_ih\).
\(l_i(t)\)
DERIVAZIONE
Se ora integriamo entrambi i lati rispetto a \(t\) nell'intervallo \([t_0,t_0+h]\) otteniamo:
\int_{t_0}^{t_0+h} \dot{u}(t)dt = u(t_0+h)-u(t_0)\\
=y_1-y_0
=\sum_{i=1}^s f(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))\int_{t_0}^{t_0+h}l_i(t)dt
= h\sum_{i=1}^s f(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))\int_{0}^{1}l_i(w)dw \\
t=t_0+wh,\,\, dt = hdw,\\
t\in[t_0,t_0+h],\,w\in [0,1]
DERIVAZIONE
y_1 = y_0 + h\sum_{i=1}^s b_if(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))
con
\(\int_0^1l_i(w) =:b_i\)
Rimane da trovare il valore di \(u(t_0+c_ih)\). Per farlo seguiamo una procedura simile ma integriamo tra \(t_0\) e \(t_0+c_ih\) l'espressione da cui siamo partiti.
DERIVAZIONE
\int_{t_0}^{t_0+c_ih} \dot{u}(t)dt = u(t_0+c_ih)-u(t_0)\\
=u(t_0+c_ih)-y_0
=\sum_{j=1}^s f(t_0+c_jh,u(t_0+c_jh))\int_{t_0}^{t_0+c_ih}l_j(t)dt
= h\sum_{j=1}^s f(t_0+c_jh,u(t_0+c_jh))\int_{0}^{c_i}l_j(w)dw \\
t=t_0+wh,\,\, dt = hdw,\\
t\in[t_0,t_0+c_ih],\,w\in [0,c_i]
DERIVAZIONE
u(t_0+c_ih) = y_0 + \\
+ h\sum_{j=1}^s a_{ij} f(t_0+c_jh,u(t_0+c_jh))
Dove
\( a_{ij} := \int_{0}^{c_i}l_j(w)dw\)
RIASSUNTO
u(t_0+c_ih) = y_0 + \\
+ h\sum_{j=1}^s a_{ij} f(t_0+c_jh,u(t_0+c_jh))
Dove
\( a_{ij} := \int_{0}^{c_i}l_j(w)dw\)
\( b_i := \int_0^1 l_i(w)dw\)
y_1 = y_0 + h\sum_{i=1}^s b_if(t_0+c_ih,u(t_0+c_ih))
RISCRITTURA
Y_i = y_0 + h\sum_{j=1}^s a_{ij} f(t_0+c_jh,Y_j)
Dove
\( a_{ij} := \int_{0}^{c_i}l_j(w)dw\)
\( b_i := \int_0^1 l_i(w)dw\)
y_1 = y_0 + h\sum_{i=1}^s b_if(t_0+c_ih,Y_i)
Questo vedremo che è una particolare famiglia di quelli che chiameremo "METODI RUNGE-KUTTA"
ESEMPI
y_1=u\left(t_0+h\right)=\\
y_0+\frac{h}{2}\left(f\left(t_0+h, y_1\right)+f\left(t_0, y_0\right)\right)
METODO DEI TRAPEZI
METODO DEL PUNTO MEDIO IMPLICITO
y_{n+1}=y_n+h f\left(t_n+\frac{h}{2}, \frac{y_n+y_{n+1}}{2}\right)
\(c_1=0,\,c_2=1\)
\(c_1=\frac{1}{2}\), è parte dei metodi di Gauss-Legendre, che hanno ordine \(2s\) quando usiamo \(s\) nodi.
Lezione 6
By Davide Murari
Lezione 6
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