數論
鐘奇恩
2022.4.26
〞
The Summit is what drives us, but the climb itself is what matters.
– Conrad Anker
自我介紹
鐘奇恩
我弱故我在
特殊經歷
2018年和🉐及0+5A一起出國
歡迎大家來數學讀書會！
每週五18:00在夢紅樓4樓
FB社團：CK很強大之Team Work讀書會
加入社團遇到問題可以私訊我
什麼東西不是今天要講的
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#define int long long
using namespace std;
signed main(){
int n0, n2, n;
string a="", b="";
cin >> n0 >> n2;
n = n0+n2;
if (n0==0 || n2==0) cout << -1 << endl;
else if (n2%2==0){
if (n0==1) {
for (int i=0;i<n2-2;i++) a += "2";
a += "022";
}
else {
for (int i=0;i<n2-1;i++) a += "2";
a += "002";
for (int i=0;i<n0-2;i++) a += "0";
}
for (int i=0;i<n0-1;i++) b += "0";
b += "220";
for (int i=0;i<n2-2;i++) b += "2";
cout << a << endl << b << endl;
}
else {
if (n0<10 || n2<11 || (n2<13 && n0<11)) {
cout << -1 << endl;
return 0;
}
if (n0>=12){
for (int i=0;i<n2-11;i++) a += "2";
a += "20202020202020202020002";
for (int i=0;i<n0-12;i++) a += "0";
}
else if (n0==11){
for (int i=0;i<n2-11;i++) a += "2";
a += "0202020202020202020202";
}
else {
for (int i=0;i<n2-12;i++) a += "2";
a += "0222020202020202020202";
}
if (n2>=13) {
for (int i=0;i<n0-10;i++) b += "0";
b += "2020202020202020202220";
for (int i=0;i<n2-12;i++) b += "2";
}
else {
for (int i=0;i<n0-11;i++) b += "0";
b += "2020202020202020202020";
}
if (a.length()!=n || b.length()!=n) return -1;
cout << a << endl << b << endl;
}
return 0;
}課程大綱
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維基百科
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參考資料
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同餘
定義
輾轉相除法
快速冪、模逆元
中國剩餘定理
質數
κόσκινον Ἐρατοσθένους
線性篩
質數密度估計
其他
歐拉函數phi
完全剩餘系
既約剩餘系
回想看看
常見迴圈
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 0; j <= n; j += i){
do_something();
}•給還不熟歐拉函數的人:
1.為甚麼對任意互質的a,b，\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)。
2.把\phi(d)對所有n的因數d sigma起來是\phi(n)。
•給還不熟費小的人:
1.為甚麼對所有質數p，a^p=a (mod p)。
2.給定質數p，證明有無限多個n使得p|(2^n+n)。
•給還不熟LTE的人:
1.對不整除x,y,n但整除x-y的質數p證明v_p(x^n-y^n)= v_p(x-y)。
2. p,q 為質數，若存在 a 使得 p | (a^q−1)/( a−1)，則 p = q 或 p |( q−1)。
•給想學習order的人:
1.給定互質的數a,m，令t為”最小的”正整數滿足a^t=1 (mod m)，為甚麼對任意的d滿足a^d=1 (mod m)都有d|m。
2.令 a,b 為互質的整數，n 為任意正整數，證明 a^{2^n} + b^{2^n} 的任意奇質因數皆為 2^{n+1}k + 1 的形式。
•給想學習原根的人:
1.令f(x)為次數為n的整係數多項式、p為質數。為什麼f(x)=0 (mod p)最多只有n個解。
2.為甚麼對任意p-1的因數d，皆存在order為d的人。
•給想學更多的人:
1.令k>2，為甚麼模2^k時，3的order總是2^{k-2}。
2.為甚麼{3^0,…,3^{2^{k-2}-1},-3^0,- 3^{2^{k-2}-1}}會構成模2^k的既約剩餘系。
5張志煥, Jeffrey Chang and 3 others
Our History
階與原根
純數學
我們都知道的歐拉定理
對所有互質的a,m有a^{\varphi (m)}\equiv 1 \pmod{m}\\
但滿足a^{d}\equiv 1 \pmod{m} 的最小d不一定是\varphi(m)！
最小的d稱作a模m的order(階)\\
若d=\varphi(m)則稱a為模m的原根
模m存在原根\iff \\
m為2, 4, p^k, 2p^k
Millar-Rabin
a probabilistic primality test
Birthday-attack
Pollard's rho
a probabilistic factorization
莫比烏斯反演
狄利克雷捲積
(f \ast g)(n) = \sum_
數論分塊
依\lfloor\frac{n}{i}\rfloor分塊
例子
\sum_{m=1}^n(n \mod m)
題目們
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