FHVirus
一個弱弱的病毒，感染症狀為壓常毒瘤綜合併發症。
進階圖論
by FHVirus
今天要學什麼？
- DFS Tree
- 關節點
- SCC
- BCC
- BCC
對沒錯！BCC 有兩種！
References
小約定們
沒有特別註明時，
「圖」都是指「無向簡單連通圖」；
點數記為 \(N\)，邊數記為 \(M\)，
\(N, M \leq 10^5\)，
且點編號為 1-base。
講師習慣的命名方式。
const int N = 1e5 + 225;
int n;
// The Graph (Adjacency List)
vector<int> adj[N];
// Visited Tag
bool vis[N];DFST
DFS Tree (x)
Don't FST (o)
把所有點
按照 DFS 序編號
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
從這個點開始，
就把他當根
Tree Edge
Back Edge
性質一
對於每一個節點，
其在 DFST 上的祖先
編號一定小於自己。
性質二
無向圖的 DFST 上不存在 Cross Edge。
直觀（不嚴謹）證明：
若存在 Cross Edge，
則在 DFS 時會被走過去，
此邊會變成 Tree Edge。
實作應該很簡單吧！
const int N = 1e5 + 225;
int n;
vector<int> adj[N];
// Number vertex by pre-order traverse
// owo is the timestamp, 1-based
int pre[N], ++owo;
void dfs(int u){
pre[u] = ++owo;
for(int v: adj[u]){
// Not having a pre[] value
// is the same as not visited
if(!pre[v]) dfs(v);
}
}把 DF Tree 上的點編號好即可！
這要做啥？
等等就知道！
Articulation Vertex
關節點
關節點 [名詞]
即「割點 Cut Vertex」，
拔掉之後會使一張圖不聯通的點。
誰是關節點？
答對了嗎？
怎麼找？
對於一個節點 u，若 u 在 DFST 中：
-
是根節點且有多個子樹
-
非根節點且至少有一子樹沒有 Back Edge 到 u 的祖先
則 u 是關節點。
實作上，我們要對每個節點 \(u\) 紀錄「\(u\) 的子節點最高可以
怎麼做？
一邊建 DFST 一邊做事！
投票：需要示範嗎？
Bridge / Cut Edge
橋
橋 [名詞]
拔掉之後會使一張圖不聯通的邊。
誰是橋？
答對了嗎？
怎麼找？
在 DFST 中，
對於一個節點 u 與其一子節點 v ，
若 v 的子樹中
不存在 Back Edge 到 u 或 u 的祖先，
則邊 \((u, v)\) 是橋。
小心重邊！
怎麼做？
也是一邊建 DFST 一邊做事！
投票：需要示範嗎？
Strongly Connected Component
強聯通分量
以下討論的是有向圖喔！
若一張有向圖中的一個分量滿足：
「對於此分量的每的點對 \((u, v)\)，
都存在 \(u \rightarrow v\) 和 \(v \rightarrow u\) 的路徑」
則此分量為強連通分量。
相對的，
若一張有向圖中的一個分量滿足：
「對於此分量的每的點對 \((u, v)\)，
都存在 \(u \rightarrow v\) 或 \(v \rightarrow u\) 的路徑」
則此分量為弱連通分量。
這裡先不討論弱連通分量。
這張圖有哪些 SCC 呢？
把 SCC 縮起來的話呢？
變成一張 DAG（沒有環）！
為什麼會是 DAG？
直觀（不嚴謹）證明：
如果縮點之後有環，
則環上的 SCC 一定會被縮在一起！
怎麼做？
Alg[0] : Kosaraju's
翻過去又翻回來再翻過去
作法：
- 先 DFS 一次，紀錄「離開點」的順序
- 將所有邊顛倒，依照離開節點的順序之逆序走訪每一個點，遇到沒有被走訪過的點時，將其加入現在的 SCC 中
- 再對原圖做縮點
實作！
投票：需要示範嗎？
不過讀書會都快一學期了應該要可以自己做出來吧？
可以看看裡面的例題喔！
Alg[1] : Tarjan
這傢伙會一直出現
作法：跟找橋、關節點很像！
- 一邊建 DFST 一邊紀錄「自己及子樹中能透過一條 Back Edge 到達的最高祖先」，即 low 值。
- 若一個點的 low 值為他自己，則將子樹中還不屬於任何 SCC 的人加入自己的 SCC！
0
1
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4
5
6
7
8
9
0
0
2
0
0
5
5
5
8
9
low 值
實作！
投票：需要示範嗎？
注意：演算法筆記裡的做法不太一樣
（跟他線上討論過了，有興趣去看下方連結）
給定一張有向圖，求最少需要從幾個點開始 DFS 才能經過所有點至少一次。
（跟前面 tmw 面試題一模一樣）
給有向圖 \(G\)（可能有自環或重邊），
並建構一張新的圖 \(T(G)\)，頂點集跟原圖 \(G\) 一樣。
在 \(T(G)\)存在一條有向邊 \(u \rightarrow v\) 若且唯若在 \(G\) 中存在一條 \(u\) 到 \(v\) 的路徑。
我們定義有向圖中的集團是一個點集合\(U\)，
對任何集合內的兩個點 \(u, v\)，
必定存在一條 \(u \rightarrow v\) 或 \(v \rightarrow u\) 的有向邊。
集團的大小定義為這個集團的頂點個數。
現在給你一張圖\(G\)，請求出 \(T(G)\)的最大集團大小。
題目等價於求最大弱連通分量。
給定一個長度為 \(n \leq 3 \cdot 10^5\) 的整數序列，
有一個人要從任一位置 \(i\) 出發，
且可以動到 \(i \pm 1\) 的條件是 \(a_i \geq a_{i \pm 1}\)。
又另外在一些位置設置噴射裝置，
使到達此位置的人可以移動到任一位置。
求最多可以經過多少個位置？
給定一張 \(n \leq 10^6\) 個點的圖，求最大弱聯通分量。
Bridge Connected Component
邊雙連通分量
邊雙連通分量 [名詞]
不存在橋的連通分量。
怎麼做？
縮點不走橋。
好好判重邊！
縮完點之後變成一棵樹！
沒有環！
BiConnected Component
點雙聯通分量
點雙連通分量 [名詞]
不存在關節點的連通分量。
Subtitle
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Subtitle
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進階圖論 Component
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