進階圖論

by FHVirus

今天要學什麼？

DFS Tree
關節點
SCC
BCC
BCC

對沒錯！BCC 有兩種！

References

小約定們

沒有特別註明時，

「圖」都是指「無向簡單連通圖」；

點數記為 $N$ ，邊數記為 $M$ ，

$N, M \leq 10^5$ ，

且點編號為 1-base。

講師習慣的命名方式。

const int N = 1e5 + 225;
int n;
// The Graph (Adjacency List)
vector<int> adj[N];
// Visited Tag
bool vis[N];

DFST

DFS Tree (x)

Don't FST (o)

把所有點

按照 DFS 序編號

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

從這個點開始，

就把他當根

Tree Edge

Back Edge

性質一

對於每一個節點，

其在 DFST 上的祖先

編號一定小於自己。

性質二

無向圖的 DFST 上不存在 Cross Edge。

直觀（不嚴謹）證明：

若存在 Cross Edge，

則在 DFS 時會被走過去，

此邊會變成 Tree Edge。

實作應該很簡單吧！

const int N = 1e5 + 225;
int n;
vector<int> adj[N];
// Number vertex by pre-order traverse
// owo is the timestamp, 1-based
int pre[N], ++owo;
void dfs(int u){
	pre[u] = ++owo;
    for(int v: adj[u]){
    	// Not having a pre[] value
        // is the same as not visited
    	if(!pre[v]) dfs(v);
    }
}

把 DF Tree 上的點編號好即可！

這要做啥？

等等就知道！

Articulation Vertex

關節點

關節點 [名詞]

即「割點 Cut Vertex」，

拔掉之後會使一張圖不聯通的點。

誰是關節點？

答對了嗎？

怎麼找？

對於一個節點 u，若 u 在 DFST 中：

是根節點且有多個子樹
非根節點且至少有一子樹沒有 Back Edge 到 u 的祖先

則 u 是關節點。

實作上，我們要對每個節點 $u$ 紀錄「 $u$ 的子節點最高可以

怎麼做？

一邊建 DFST 一邊做事！

投票：需要示範嗎？

Bridge / Cut Edge

橋

橋 [名詞]

拔掉之後會使一張圖不聯通的邊。

誰是橋？

答對了嗎？

怎麼找？

在 DFST 中，

對於一個節點 u 與其一子節點 v ，

若 v 的子樹中

不存在 Back Edge 到 u 或 u 的祖先，

則邊 $(u, v)$ 是橋。

小心重邊！

怎麼做？

也是一邊建 DFST 一邊做事！

投票：需要示範嗎？

Strongly Connected Component

強聯通分量

以下討論的是有向圖喔！

若一張有向圖中的一個分量滿足：

「對於此分量的每的點對 $(u, v)$ ，

都存在 $u \rightarrow v$ 和 $v \rightarrow u$ 的路徑」

則此分量為強連通分量。

相對的，

若一張有向圖中的一個分量滿足：

「對於此分量的每的點對 $(u, v)$ ，

都存在 $u \rightarrow v$ 或 $v \rightarrow u$ 的路徑」

則此分量為弱連通分量。

這裡先不討論弱連通分量。

這張圖有哪些 SCC 呢？

把 SCC 縮起來的話呢？

變成一張 DAG（沒有環）！

為什麼會是 DAG？

直觀（不嚴謹）證明：

如果縮點之後有環，

則環上的 SCC 一定會被縮在一起！

怎麼做？

Alg[0] : Kosaraju's

翻過去又翻回來再翻過去

作法：

先 DFS 一次，紀錄「離開點」的順序
將所有邊顛倒，依照離開節點的順序之逆序走訪每一個點，遇到沒有被走訪過的點時，將其加入現在的 SCC 中
再對原圖做縮點

更嚴謹的證明在這裡！

實作！

投票：需要示範嗎？

不過讀書會都快一學期了應該要可以自己做出來吧？

可以看看裡面的例題喔！

Alg[1] : Tarjan

這傢伙會一直出現

作法：跟找橋、關節點很像！

一邊建 DFST 一邊紀錄「自己及子樹中能透過一條 Back Edge 到達的最高祖先」，即 low 值。
若一個點的 low 值為他自己，則將子樹中還不屬於任何 SCC 的人加入自己的 SCC！

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

2

0

5

8

9

low 值

實作！

投票：需要示範嗎？

注意：演算法筆記裡的做法不太一樣

（跟他線上討論過了，有興趣去看下方連結）

做題吧！

TIOJ 1451 八卦傳播系統

給定一張有向圖，求最少需要從幾個點開始 DFS 才能經過所有點至少一次。

（跟前面 tmw 面試題一模一樣）

TIOJ 1683 最大集團

給有向圖 $G$ （可能有自環或重邊），

並建構一張新的圖 $T(G)$ ，頂點集跟原圖 $G$ 一樣。

在 $T(G)$ 存在一條有向邊 $u \rightarrow v$ 若且唯若在 $G$ 中存在一條 $u$ 到 $v$ 的路徑。

我們定義有向圖中的集團是一個點集合 $U$ ，

對任何集合內的兩個點 $u, v$ ，

必定存在一條 $u \rightarrow v$ 或 $v \rightarrow u$ 的有向邊。

集團的大小定義為這個集團的頂點個數。

現在給你一張圖 $G$ ，請求出 $T(G)$ 的最大集團大小。

題目等價於求最大弱連通分量。

TIOJ 1868 噴射裝置

給定一個長度為 $n \leq 3 \cdot 10^5$ 的整數序列，

有一個人要從任一位置 $i$ 出發，

且可以動到 $i \pm 1$ 的條件是 $a_i \geq a_{i \pm 1}$ 。

又另外在一些位置設置噴射裝置，

使到達此位置的人可以移動到任一位置。

求最多可以經過多少個位置？

TIOJ 1981 部落格

給定一張 $n \leq 10^6$ 個點的圖，求最大弱聯通分量。

Bridge Connected Component

邊雙連通分量

邊雙連通分量 [名詞]

不存在橋的連通分量。

怎麼做？

縮點不走橋。

好好判重邊！

縮完點之後變成一棵樹！

沒有環！

進階圖論

by FHVirus

今天要學什麼？

References

小約定們

沒有特別註明時，

「圖」都是指「無向簡單連通圖」；

點數記為 NNN，邊數記為 MMM，

N,M≤105N, M \leq 10^5N,M≤105，

且點編號為 1-base。

講師習慣的命名方式。

DFST

DFS Tree (x)

Don't FST (o)

把所有點

按照 DFS 序編號

性質一

對於每一個節點，

其在 DFST 上的祖先

編號一定小於自己。

性質二

實作應該很簡單吧！

這要做啥？

等等就知道！

Articulation Vertex

關節點

關節點 [名詞]

即「割點 Cut Vertex」，

拔掉之後會使一張圖不聯通的點。

誰是關節點？

答對了嗎？

怎麼找？

對於一個節點 u，若 u 在 DFST 中：

是根節點且有多個子樹

非根節點且至少有一子樹沒有 Back Edge 到 u 的祖先

則 u 是關節點。

怎麼做？

一邊建 DFST 一邊做事！

投票：需要示範嗎？

Bridge / Cut Edge

橋

橋 [名詞]

拔掉之後會使一張圖不聯通的邊。

誰是橋？

答對了嗎？

怎麼找？

在 DFST 中，

對於一個節點 u 與其一子節點 v ，

若 v 的子樹中

不存在 Back Edge 到 u 或 u 的祖先，

則邊 (u,v)(u, v)(u,v) 是橋。

小心重邊！

怎麼做？

也是一邊建 DFST 一邊做事！

投票：需要示範嗎？

Strongly Connected Component

強聯通分量

以下討論的是有向圖喔！

若一張有向圖中的一個分量滿足：

「對於此分量的每的點對 (u,v)(u, v)(u,v)，

都存在 u→vu \rightarrow vu→v 和 v→uv \rightarrow uv→u 的路徑」

則此分量為強連通分量。

相對的，

若一張有向圖中的一個分量滿足：

「對於此分量的每的點對 (u,v)(u, v)(u,v)，

都存在 u→vu \rightarrow vu→v 或 v→uv \rightarrow uv→u 的路徑」

則此分量為弱連通分量。

這裡先不討論弱連通分量。

這張圖有哪些 SCC 呢？

把 SCC 縮起來的話呢？

變成一張 DAG（沒有環）！

為什麼會是 DAG？

直觀（不嚴謹）證明：

如果縮點之後有環，

則環上的 SCC 一定會被縮在一起！

怎麼做？

Alg[0] : Kosaraju's

翻過去又翻回來再翻過去

作法：

實作！

點數記為 $N$ ，邊數記為 $M$ ，

$N, M \leq 10^5$ ，

則邊 $(u, v)$ 是橋。

「對於此分量的每的點對 $(u, v)$ ，

都存在 $u \rightarrow v$ 和 $v \rightarrow u$ 的路徑」

「對於此分量的每的點對 $(u, v)$ ，

都存在 $u \rightarrow v$ 或 $v \rightarrow u$ 的路徑」