網路流淺淺談

聽說不難?

簡介

講師:FHVirus

因為想學 Flow 所以當講師

課程內容

  • 網路流問題定義
  • Max flow/Min cut 定理
  • 建模
  • Ford-Fulkerson、Edmonds-Karp、
    Dinic 實作與複雜度
  • 一堆題目

Disclaimer

  • 網路流相關的主題還有MCMF、最小割相關、線性規劃等等演算法今天都不會教(講師不會),請不要覺得這就是 Flow 的大部分。
  • 今天的證明不會太嚴謹(講師不會),有興趣自己查資料
  • IOI 不會考 Flow,但是能競、選訓營不保證不考。

面對網路流的心態

可能僅限今天

面對網路流題目時:

  • 做好通靈的準備
    很多題模最難的是看猜到他要用 Flow
  • 把網路流演算法當作黑盒子
    在想要怎麼流(建模)的時候不要去在意演算法是怎麼運作的,想清楚確定複雜度是好的之後砸下去就對了
  • 不要中毒
    就算是 Flow 的題目也不一定需要 Flow 演算法,好好觀察思考,確定得用 Flow 再砸

網路流問題

在一張有向圖 \(G = (V, E) \)上,

每個邊有一個非負實數的權重 \(c(u, v) \ge 0\) 代表容量,

(若 \((u, v) \notin E\),則 \(c(u, v) = 0\))

並有兩個特殊點: 源點 \(s\) 與匯點 \(t\)。

 

一個可行流是一個函數 \(f : V \times V \mapsto \mathbb{R}\),
其滿足以下條件:

  • \(f(u, v) \le c(u, v), \forall (u, v) \in V \times V\) (流量限制)
  • \(f(u, v) = -f(v, u), \forall (u, v) \in V \times V\)(流量對稱)
  • \(\sum_{v \in V}{f(u, v)} = 0, \forall u \in V \backslash \{s, t\}\)(流量守恆)

定義這個網路流的流量為 \(\sum_{v \in V}{f(s, v)}\),

而最大的可行流則稱為最大流。

所以網路流黑盒子做的事情就是:

給定一張有向帶權圖 \(G = (V, E)\) 以及 \(s, t\),

吐出他的最大流。

 

這邊就當作你有黑盒子了。
沒有也沒關係,反正黑盒子就是黑盒子。

黑盒子使用範例

void solve(){
  int n, m; cin >> n >> m;
  // 設 n 個點, 1 為源點, n 為匯點
  din.init(n, 1, n);
  for(int u, v, c; m; --m){
    cin >> u >> v >> c;
    // 增加一條 u 到 v 容量為 c 的邊
    din.add(u, v, c);
  }
  // 我叫你流
  cout << din.flow() << '\n';
}

後面才會講黑盒子的實作與複雜度

一些名詞

剩餘網路

1

1

1

2

2

6/7

4/4

2/3

3/3

2/3

4/5

6/8

5/5

1/3

剩餘網路 \(G_r\):現在這個網路還可以怎麼流

注意反向邊(紅色)

擴增路徑

擴增路徑:一條在 \(G_r\) 上從 \(s\) 到 \(t\) 的簡單路徑

也就是剩餘流量 \(> 0\) 的一條簡單路徑

注意反向邊(紅色)

對偶問題與最小割

對偶問題:一體兩面

  • 自強樓什麼時候會倒  \(\leftrightarrow\) 自強樓能夠撐到什麼時候
  • 最少不遞增子序列數量 \(\leftrightarrow\) 最長遞增子序列長度
  • 燒雞 \(\leftrightarrow\) 裝弱(我想不到了)
  • 線性規劃有更多好玩的例子但我不會數學

那麼最大流的對偶問題
是什麼?

\(s\)

\(1\)

\(2\)

\(t\)

7/14

7/7

7/49

看看這個例子

\(s\)

\(1\)

\(2\)

\(t\)

7/14

7/7

7/49

是誰卡住了?

瓶頸?割?🈹️

\(Cut(s, t) = \sum_{u \in s}{\sum_{v \in t}{ c(u, v)}}\)

最小割

s 到 t 最窄的那些瓶頸
長得好像最大流的限制?

最小割==最大流?

不嚴謹的證明吧!

講師不會數學,所以就先證個大概

反正也沒有人想聽

最小割==最大流?

觀察一:

最大流 \(\le\) 最小割

\(\sum_{u \in S}{\sum_{v \in T}{f(u, v)}} \le \sum_{u \in S}\sum_{v \in T}{c(u, v)}\)

應該蠻好理解的?

送出去的流量 \(\le\) 出邊的流量上限

最小割==最大流?

觀察二:

\(f\) 是最大流 \(\Leftrightarrow\) \(G_r\) 沒有擴增路徑

應該顯然吧

最小割==最大流?

Claim:如果 \(f\) 沒有擴增路徑(塞滿了),
則可以找到(構造)一個割 \(C\),
使得 \(\vert C \vert = \vert f \vert\)

最小割==最大流?

構造法:

令所有 \(s\) 在 \(G_r\) 上可以走得到的點在 \(S\),

其餘在 \(T\)。則:

  • \(\forall u \in S, v \in T, f(u, v) = c(u, v)\)
  • \(\forall u \in S, v \in T, f(v, u) = 0\)

用反證法可知若不滿足這兩點,
則有擴增路徑(\(\rightarrow\leftarrow\))。

最小割==最大流?

構造法:

令所有 \(s\) 在 \(G_r\) 上可以走得到的點在 \(S\),

其餘在 \(T\)。

不但找到了 \(f\) 使得 \(\vert f \vert = \vert C \vert\),

也得知了 \(C\) 每一條邊都被塞滿滿!

最小割=最大流!

盱衡上述:

令最大流 \(f\),構造出的割 \(C\)

  • \(\vert f \vert \le\) 所有的可能割
  • \(f\) 可以找到一割使得\(\vert f \vert = \vert C \vert\)

\(\Rightarrow\) 最小割=最大流,且 \(C\) 為最小割!

最小割例題

現在 INFOR 社辦某一台電腦被 FHVirus 感染了,
社員們要想辦法在 FHVirus 感染到
存放了重要Jizz資料的某一台電腦前阻止他。

 

FHVirus 只能透過 \(n\) 台電腦的 \(m\) 條網路線散播,
每一條網路線都有一個貴重程度 \(w_i\),
而社員們只能用剪斷網路線來防禦。

 

由於 FHVirus 散播速度跟FWT一樣快,
時間所剩不多,請求出
「剪斷線路貴重程度和」最小的防禦方式吧!

註:只要守住「存放了重要Jizz資料的某一台電腦」就好

看出是最小割了嗎?

砸 Flow!

有許多 Flow 題目是要構造出
使用最小割的機會,
請多利用 MFMC 喔。

一些題目

講師要去吃飯

想想看點容量怎麼做?

投票:要不要看雜耍

順便講解例題[0]

建模與更多例題

建模

透過改變/構造圖,
使得既有的演算法能在新圖上得到答案。

題目要最短路

\(\Rightarrow\) 如果能 Dijkstra 就好了⋯⋯

\(\Rightarrow\) 建模維護額外資訊!

把每一個點 \(u\) 變成 \(u_0 \sim u_{1023}\),

代表到 \(u_i\) 且 \(xor\) 值為 \(i\) 的最短路。

Flow 也可以建模!

題目要點容量

\(\Rightarrow\) 如果能換成邊容量就好了⋯⋯

\(\Rightarrow\) 建模,把點變成邊!

對於每一個點 \(u\),拆成 \(u_{in}, u_{out}\),

並建兩點間容量為點容量大小的邊!

最大二分圖匹配數?

每一個紅點要對應到一個藍點

求最多出CP對數

\(\Rightarrow\) 如果能換成最大流量就好了⋯⋯

\(\Rightarrow\) 建模,把匹配變成流量為 \(1\) 的邊!

對於每一個紅點 \(u\),建 \((s, u, 1)\) 的邊;

對於每一個藍點 \(v\),建 \((v, t, 1)\) 的邊;

對原圖上的 \((u, v)\),建 \((u, v, 1)\) 的邊。

這樣最大流就是最大匹配數!

最大二分圖匹配數?

爆個雷

匹配用 Dinic 的複雜度是 \(O(E \sqrt{V})\),
超級快!跟 ZCK 破台的速度一樣

(用擴增路徑找匹配是 \(O(VE)\))

要選不選又沒辦法好好 DP

看到這種東西:

  • 拿 \(u\) 會賺 \(c\) 。
  • 拿 \(u\) 要花 \(c\) 。
  • 拿 \(u\) 不拿 \(v\) 要花 \(c\)。
  • 拿 \(u\) 一定要拿 \(v\) 。
    也就是拿 \(u\) 不拿 \(v\) 要花 \(INF\)。

​又沒有辦法好好 DP 的時候⋯⋯

要選不選又沒辦法好好 DP

每一個東西分成要選或不選兩類⋯⋯

\(\Rightarrow\) 如果能用最小割就好了⋯⋯

\(\Rightarrow\) 建模,把要不要選變成分在 \(S\) 或 \(T\)

把上面四種關係(實際上是三種)

巧妙地變成邊之後,

最小花費就變成最小割!

怎麼做?

假設要選的在 S-cut,不選的在 T-cut:

  • 拿 \(u\) 要花 \(c\)
    \(cap(u, t) = c\)
     
  • 拿 \(u\) 不拿 \(v\) 要花 \(c\):
    \(cap(u, v) = c\)
     
  • 拿 \(u\) 會賺 \(c\) :?
    容量不能是負的!

怎麼做?

拿 \(u\) 會賺 \(c\) :

先假裝賺了 \(c\) ,等等決定不選再扣回去!

\(ans = ans + c, cap(s, u) = c\)

小結

遇到分兩類又不能 DP
\(\rightarrow\) 試試看最小割!

還有一大堆酷酷的模沒有講到,

有興趣可以去看 IOIC 講義。
(沒有的話就祈禱明年也能順利辦成吧!)

這樣應該會做例題[2]了吧!

什麼?你說你沒有黑盒子?

你又沒有要裝黑幹嘛要黑盒子

終於要開箱黑盒子了

Ford-Fulkerson

隨便做隨便唬爛

每次找一條增廣路徑,沿著他增廣。

假設流量為 \(f\),沿途所有邊 \(c = c - f\),
沿途所有邊的反向邊 \(c = c + f\)。

反向邊的概念很重要。

隨便做隨便唬爛

int fordFulkerson(){
  int ans = 0, tmp;
  while(true){
    // 反正就一直增廣到不行
    tmp = findAugPath(s, INF);
    if(tmp == 0) break;
    ans += tmp;
  }
  return ans;
}

不實用所以就不實作了。

複雜度?

  • 流量上限有無理數的話,演算法不一定會結束!
  • 流量限制是整數的話,複雜度是 \(O(E \vert f \vert)\)
    根據 Integral Flow Theorem,流量限制是整數的話,
    每次擴增至少會增加 \(1\),又每次擴增複雜度是 \(O(e)\),
    故複雜度是 \(O(E \vert f \vert)\)。

​很爛吧。想辦法再唬爛一點?

Edmonds-Karp

有沒有試過唬爛

唬爛唬爛結果複雜度就變好了?

怎麼唬爛?

隨便做隨便唬爛

每次找一條最短的增廣路徑,沿著他增廣。

蛤?就這樣?

複雜度呢?

Edmonds-Karp 複雜度

  • 結論:最多增廣 \(O(VE)\) 次!
  • 小引理:每次一條邊在擴增過程中被塞滿後,\(s\) 到這條邊的距離一定會嚴格增加。
    講師不想證,反正就是反證法,最後會矛盾這樣。
  • \(s\) 到一條邊的距離最多是 \(V\)。
    因為擴增路徑要是簡單路徑。
  • 總共有 \(E\) 條邊,每條邊最多被塞滿 \(V\) 次,每次擴增 \(O(E)\)
    \(\rightarrow\) 總複雜度 \(O(VE^2)\) !

比剛剛好很多了!但是能再更好嗎?

反正通常也不會用到就是了。

Dinic

前面兩個都不用會,會這個就好

繼續唬爛優化複雜度

隨便做隨便唬爛

剛剛是每次找一條最短的增廣路徑,
現在我們把所有最短的增廣路徑一口氣用完。

一次算好所有點在 \(G_r\) 上跟 \(s\) 的距離!

void bfs(){
  memset(level, -1, sizeof(level));
  level[s] = 0;
  queue<int> q; q.push(s);
  while(!q.empty()){
    int u = q.front(); q.pop();
    for(Edge e: G[u]){
      if(e.cap > 0 and level[e.to] == -1){
        level[e.to] = level[u] + 1;
        q.push(e.to);
      }
    }
  }
}

DFS 的時候紀錄試過的邊!

int dfs(int u, int flow){
  if(u == t) return flow;
  // 下面這行是重點!
  for(int &i = iter[u]; i < (int) G[u].size(); ++i){
    Edge &e = G[u][i];
    if(e.cap > 0 and level[e.to] == level[u] + 1){
      int ret = dfs(e.to, min(flow, e.cap));
      if(ret > 0){
        e.cap -= ret;
        G[e.to][e.rev].cap += ret;
        return ret;
      }
    }
  }
  return 0;
}

Dinic 複雜度

  • 總共只會更新所有點的距離 \(V\) 次
    一樣,簡單路徑的長度最多 \(V\)
  • 每次要找完所有長度為 \(k\) 的擴充路徑要 \(O(kE)\)
  • 總複雜度加一加就是 \(O(V^2E)\)!
  • 還可以再更好但就先這樣吧。
    講師太弱只會到這邊。 

再更多題目

TopCoder SRM 590
Fox And City

有 \(n \le 40\) 個點 \(1 \sim n\) ,\(m\) 條長度為 \(1\) 的無向邊,
保證這張圖是聯通的。

每一個點有一個「期望距離 \(want_i\)」,
假設點 \(i\) 與點 \(1\) 的實際距離為 \(real_i\),
失望值即為 \((want_i - real_i) ^ 2\)。

你可以對這張圖增加一些長度為 \(1\) 的無向邊,
求失望值和最小值,
以及要加上哪些邊。

注意到不需要最小化增加的邊的數量。

怎麼看都不是 Flow 對吧。

Subtitle

Subtitle

Subtitle

Subtitle

這題只能傳 Kotlin,
看看題目就好。

難題

難題

想要更多嗎?

一些注意事項

  • 不要中毒
    CodeForces 上面一排題目有 Flow tag 的官解一點關係都沒有(就算看起來有像也是),有時候就算是 Flow 的題目也不一定要寫出 Flow 演算法

  • 不要仲毒

  • 這只是 Flow 的最最基礎的一小部分而已,還有一大堆講師不會、沒講的

  • 不要中毒,很重要,不要看到就砸 Dinic

其實還有比 Dinic 更好的

主要不是這篇文章,是他底下的留言和超連結們。
關鍵字:Preflow-Push
實際上大多數情況還是 Dinic 快。

平面圖似乎能做到 \(O(N \log N)\)?

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By FHVirus

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