Gilberto 🦁 PRO
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Probabilidad y estadística
Variable continua
Función de distribución
La función de distribución de probabilidad de una variable continua se describe como:
fdp = \int_{-\infty}^\infty f(x)dx
Dispersión de la distribución
Podemos describir la dispersión de la variable (de su distribución) a través de su media (también llamada esperanza matemática), varianza y desviación estándar
\bar{X} = \mu = \int_{-\infty}^\infty xf(x)dx
\sigma = \sqrt\sigma^2
\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty x^2f(x)dx - \mu ^2
Distribución normal
N(\mu, \sigma)
Con una función de densidad dada por:
f(x) = \frac 1 {\sigma \sqrt{2\pi}} e ^ {- \frac 1 2 (\frac {x - \mu} {\sigma})^2}
Distribución normal
Distribución normal
Distribución normal
La distribución normal es simétrica alrededor de la media, por lo que:
\int_{-\infty}^\mu f(x)dx = \int_{\mu}^\infty f(x)dx = \frac 1 2
\int_{-\infty}^{\mu - a} f(x)dx = \int_{\mu - a}^\infty f(x)dx
Distribución normal estándar
La distribución normal estándar es una distribución normal en la que:
N(0, 1)
\mu = 0
\sigma = 1
De modo que:
f(x) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} e ^ {- \frac {x^2} 2}
Distribución normal estándar
De este modo:
p(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac {1} {\sqrt {2\pi}} e ^{-{\frac {x^2} 2}} dx
Distribución normal estándar
De este modo:
p(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac {1} {\sqrt {2\pi}} e ^{-{\frac {x^2} 2}} dx
Por ejemplo, calcular:
p(Z \leq 1.26)
Distribución normal estándar
De este modo:
p(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac {1} {\sqrt {2\pi}} e ^{-{\frac {x^2} 2}} dx
Por ejemplo, calcular:
p(Z \leq 1.26)
Tipificación
Podemos pasar de cualquier distribución normal a una estandar con una operación:
Z = \frac {x - \mu} {\sigma}
Tipificación
Asumiendo una variable continua con media igual a 4 y desviación estándar 2, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 6.21?
p(X \geq 6.21) = p(Z \geq \frac {6.21 - 4} {2}) = p(Z \geq 1.105)
p(Z \geq 1.105) = 1 - p(Z \leq 1.105) = 1 - 0.8654 = 0.1346
Distribución binomial
Supongamos la siguiente distribución binomial con dos condiciones cumplidas:
B(n, p)
B(n, p) \approx N(np, \sqrt {npq})
n p \geq 5
n (1 - p) \geq 5
Entonces
Probabilidad y estadística: Variable continua
By Gilberto 🦁
Probabilidad y estadística: Variable continua
Variable continua
