Gilberto 🦁 PRO
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Probabilidad y estadística
Variable discreta
Función de probabilidad
Para toda variable discreta se puede definir una función de probabilidad que asocia cada valor que la variable puede tomar con la probabilidad de que tome ese valor
f(x_{i}) = p(X = x_{i}) = p_{i}
Esta función de probabilidad debe cumplir las siguientes dos condiciones
p(X = x_{i}) = p_{i} \geq 0
\sum_{i} p(X = x_{i}) = \sum_{i} p_{i} = 1
La probabilidad de cada valor debe ser mayor o igual a 0
La suma de las probabilidades de todos los valores probabilidades debe ser igual a 1
Función de distribución
Una función de distribución representa la probabilidad de que una variable aleatoria
tome un valor menor o igual a un número específico, representando como se acumula la probabilidad a lo largo de los posibles resultados del rango
F(x_{i}) = p(X \leq x_{i})
Se calcula, básicamente, sumando las probabilidades de todos los valores menores o iguales al valor buscado
Dispersión de la distribución
Podemos describir la dispersión de la variable (de su distribución) a través de su media (también llamada esperanza matemática), varianza y desviación estándar
\bar{X} = \mu = \sum_{i=1}^n x_{i} p_{i}
\sigma = \sqrt\sigma^2
\sigma^2 = \sum_{i=1}^n (x_{i} - \mu)^2 p_{i} = \sum_{i=1}^n x^2_{i} p_{i} - \mu^2
Propiedades de la esperanza
La esperanza matemética tiene las siguientes propiedades (relacionadas a la suma y multiplicación):
E[aX + b] = aE[x] + b
siempre que a y b sean números reales
E[X + Y] = E[X] + E[Y]
Propiedades de la varianza
La varianza tiene las siguientes propiedades (relacionadas a la suma y multiplicación):
var[aX] = a^2var[X]
siempre que a sea un número real
var[X + Y] = var[X] + var[Y]
var[aX + b] = a^2var[X]
siempre que a y b sean números reales
cuando X & Y son independientes
Distribución binomial
Una distribución binomial se consigue con una serie de experimentos de variable discreta en los que:
- Cada experimento tiene un resultado binario: éxito o fracaso
- El resultado de cada experimento es independiente de los anteriores
- La probabilidad de éxito no cambia
x = B(n, p)
La expresión anterior representa el número de éxitos obtenidos (x) en un número de pruebas realizadas (n) con una probabilidad (p) dada
Función de probabilidad
La expresión para la función de probabilidad de una distribución binomial es
p(X = r) = \binom{n}{r} p^r (1-p)^{n-r}
Dispersión de la distribución
Las expresiones para la media (esperanza matemática), varianza y desviación estándar de una distribución binomial son:
\bar{X} = \mu = np
\sigma = \sqrt\sigma^2
\sigma^2 = np(1-p) = npq
Distribución hipergeométrica
Una distribución hipergeométrica se consigue con una serie de experimentos de variable discreta en los que:
- Se realizan n experimentos de entre N posibles
- Cada experimento tiene un resultado binario: éxito o fracaso
- Hay k elementos que consideramos exitosos dentro de N
- Los experimentos se realizan sin reemplazo
x = H(N, n, p)
La expresión anterior representa el número de éxitos obtenidos (x) en un número de pruebas realizadas (n), dentro de un conjunto de pruebas posibles (N) con una probabilidad (p) dada
Función de probabilidad
La expresión para la función de probabilidad de una distribución hipergeométrica es
p(X = x) = \frac{\binom{k}{x} \binom{N - k}{n - x}}{\binom{N}{n}}
Dispersión de la distribución
Las expresiones para la media (esperanza matemática), varianza y desviación estándar de una distribución binomial son:
\bar{X} = \mu = np
\sigma = \sqrt\sigma^2
\sigma^2 = np(1-p) \frac{N-n}{N-1} = npq \frac{N-n}{N-1}
Hipergeométrica y binomial
Cuando se tiene una distribución hipergeométrica en la que N > 10n, una distribución hipergeométrica
x = H(N, n, p)
Se puede aproximar a una binomial
x = B(n, p)
de la siguiente manera
x = B(n, k/N)
Distribución de Poisson
Esta distribución expresa la probabilidad de que se produzca un número determinado de sucesos (k) en un intervalo fijo de tiempo o espacio con una frecuencia media conocida y que tienen una probabilidad de éxito muy reducida
X \sim Poi(\lambda)
Función de probabilidad
La expresión para la función de probabilidad de una distribución hipergeométrica es
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}
La expresión anterior representa el número de éxitos obtenidos (k) con una frecuencia media (λ)
Dispersión de la distribución
Las expresiones para la media (esperanza matemática), varianza y desviación estándar de una distribución binomial son:
\bar{X} = \mu = \lambda
\sigma = \sqrt\lambda
\sigma^2 = \lambda
Poisson y binomial
Cuando tenemos una distribución binomial en la que n es muy grande y/o p es muy pequeña
x = B(n, p)
Se puede aproximar a una distribución de Poisson
X \sim Poi(\lambda)
de la siguiente manera
X \sim Poi(np)
Probabilidad y estadística: Variable discreta
By Gilberto 🦁
Probabilidad y estadística: Variable discreta
Variable discreta
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