Seminar kognitive Modellierung:
Multinomial Processing Tree Models

Jan Göttmann, M.Sc.

Einführung

…bieten Erklärungen für beobachtete Häufigkeiten in Form von Parametern die eine klare psychologisch Interpretation haben
…diese Parameter repräsentieren Wahrscheinlichkeiten von latenten psychologischen Prozessen (bzw. Zuständen) die menschlichem Verhalten zu Grunde liegen
…trennen und messen den Beitrag dieser verschiedenen psychologischen Prozesse zu beobachteten Häufigkeiten !

MPT-Modelle…

Einführung

Terminlogie & Annahmen

Multinomial…

MPT Modelle beschreiben Daten, die einer oder mehreren Multinomialverteilung folgen
Multinomialverteilungen beschreiben kategoriale / diskrete Daten ( ja / nein Antworten, Multiple Choice Aufgaben, korrekte/inkorrekte Entscheidungen)

Processing…

Annahme: Eine finite Anzahl von latenten Prozessen die Beobachteten Antworten erzeugt
Ziel: Diese Prozesse durch die geschätzten Parameter zu beschreiben

Tree…

Modelle werden als Wahrscheinlichkeitsbäume
dargestellt

Einführung

Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Kategorien, lassen sich anhand des Pfaddiagrammes berechnen.

Innerhalb eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten Multipliziert (bedingte Wahrscheinlichkeiten)
Unterschiedliche Pfade, die zum gleichen Ergebnis führen, können addiert werden.

Kategorie A

p_a

1-p_a

1-p_b

p_b

Kategorie B

Kategorie A

Addition

Multiplikation

Prinzip

Einführung

P(A) = p_a + (1-p_a)\cdot p_b

P(B) = ?

Gleichungen

Kategorie A

p_a

1-p_a

1-p_b

p_b

Kategorie B

Kategorie A

Addition

Multiplikation

Beispiel MPT Modellierung: Recognition Memory

Paradigma Old vs. New Recognition Memory Test

1. Lernphase
Versuchspersonen müssen zunächst eine Liste von unterschiedlichen Worten lernen („old items“)

2. Test Phase
Nun werden Worte in zwei unterschiedlichen Bedingungen präsentiert

Alte Worte (bereits gelernt)
Neue Worte ( „Lures“)
Abhängige Variable ist die Entscheidung zwischen „Alt“ und „Neu“ (dichotom)

Beispiel MPT Modellierung: Recognition Memory

old_correct	old_incorrect	new_correct	new_incorrect
71	29	17	30
84	25	36	18
62	34	20	35
...	...	...	...
...	...	...	...

Daten: Auszählen der Antworten für jede Kategorie

Paradigma Old vs. New Recognition Memory Test

Beispiel MPT Modellierung: Recognition Memory

1-High Threshold Model (Swets, 1963)

p(hit) = r + (1-r) \cdot g

Old Word

recognition

1-r

"old"

1-g

"new"

"old"

no recognition

guess "old"

guess "new"

1-g

"new"

"old"

guess "old"

guess "new"

New Word

p(miss) = (1-r) \cdot (1-g)

Model Equations

Beispiel MPT Modellierung: Recognition Memory

p(hit) = r + (1-r) \cdot g

p(miss) = (1-r) \cdot (1-g)

p(n_1,n_2,...,n_J) = \frac{N!}{n_1!n_2!...n_J!} p_1^{n_1} p_2^{n_2} p_3^{n_3} p_J^{n_J}

Einfaches Multinomiales Modell

Daten: Beobachtete Häufigkeiten \(n= (n_1,n_2,...n_J)\)
Parameter: Vektor von Kategoriewahrscheinlichkeiten \(p = (p_1,p_2,...p_j)\)
Kategoriewahrscheinlichkeiten werden als Funktion der latenten Parameter des Multinomialen Models \(f(\theta)\) ausgedrückt
- \(p_1 = f_1(\theta_1,\theta_2,...,\theta_S)\)
- \(p_2 = f_2(\theta_1,\theta_2,...,\theta_S)\)
Parameterspace von S latenten Parametern \(\theta_S\) ist \(\Omega \)

p(n_1,n_2,...,n_J) = \frac{N!}{n_1!n_2!...n_J!} \prod_{j=1}^{n} p_J^{n_J}

Maximum Likelihood Estimation

Likelihood vs. Wahrscheinlichkeit

f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreibt, wie wahrscheinlich die Daten, gegeben bestimmte Parameter des Modells sind.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen IQ zwischen 120 und 140 zu haben ?

Maximum Likelihood Estimation

Likelihood vs. Wahrscheinlichkeit

\mathcal{L}(\mu, \sigma^2 | x_n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}

Die Likelihood-Funktion beschreibt die Plausibilität der Parameter eines statistischen Modells, indem sie die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten unter verschiedenen Parametern des Modells bewertet.

Daten stehen fest, Parameterwerte variieren !