微積分簡介
建國中學 張均豪
被消失的2021四校寒訓
一些注意事項
- 本次課程內容為高中教材範圍，因為超過的講師也不會
- 內含大量唬爛，請斟酌參考
- 如果已經都會的可以上台把講師電爆沒有關係
- 大家一起愉快的聽課吧！
先備知識
函數的概念
函數?
相信大家都知道是什麼
以數學來說，是個表示「對應關係」的方式
\(f:\)
定義域
對應域
值域
常見函數的種類
多項式函數
\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)
一次函數：直線
\(f(x)=ax+b\)
二次函數：拋物線
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
常見函數的種類
三角函數
\(\theta\)
\(c\)
\(a\)
\(b\)
\(sin(\theta)=\frac{b}{c}\)
\(cos(\theta)=\frac{a}{c}\)
\(tan(\theta)=\frac{b}{a}\)
\((cos\theta ,sin\theta)\)
(1,0)
(0,1)
\(\theta\)
常見函數的種類
指對數函數
\(f(x)=2^x\)
\(f(x)=log_2x\)
常見函數的種類
其他長得奇形怪狀的東西
\(f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\)
\(f(x)=\lfloor x\rfloor\)
極限
函數的極限
有一個函數\(f\)，當\(x\)非常靠近某個\(a\)時，此時\(f(x)\)會非常接近某個值\(L\)，則稱\(L\)為\(f\)在\(a\)處的極限值，記為\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=L\)
這個是高中教材的定義方式，不過有點不嚴謹(?
好啦真正的定義長這樣
若\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=L\)
則對於任何\(\epsilon>0\)，都存在\(\delta>0\)，使得當\(0<|x-a|<\delta\)總有\(0<|f(x)-L|<\epsilon\)
看不懂沒關係，因為講師也沒看懂
總之先這樣
極限要怎麼找
打表
畫圖觀察
拿定義去做(我不會)
左極限與右極限
由左邊逼近的叫做左極限，記做\(\lim\limits_{x\to a^-} f(x)\)
由右邊逼近的叫做右極限，記做\(\lim\limits_{x\to a^+} f(x)\)
當\(\lim\limits_{x\to a}f(x)\)存在，\(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) =\(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)\) =\(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)\)
極限值存在
極限值不存在
極限的四則運算
\(\lim\limits_{x\to a} (f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to a} f(x)+\lim\limits_{x\to a} g(x)\)
\(\lim\limits_{x\to a} (f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to a} f(x)-\lim\limits_{x\to a} g(x)\)
\(\lim\limits_{x\to a} (f(x)\cdot g(x))=\lim\limits_{x\to a} f(x)\cdot \lim\limits_{x\to a} g(x)\)
若 \(\lim\limits_{x\to a} g(x)\neq 0\)，則 \(\lim\limits_{x\to a} (\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\lim\limits_{x\to a} f(x)}{\lim\limits_{x\to a} g(x)}\)
反正就是他可以加減乘除(如果存在的話)
極限的運算
對大部分常見的函數，\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=f(a)\)
不過有時候\(f(a)\)不存在
假如遇到\(\frac{定值}{\infty}\)，則結果為\(0\)
假如遇到\(\frac{\infty}{定值}\)或\(\frac{定值}{0}\)，則發散(極限不存在)
不過假如遇到\(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\infty-\infty,0\cdot \infty\)等狀況
就需要另外處理
例：計算\(\lim\limits_{x\to 2}(\frac{x^2-5x+6}{x-2})\)
夾擠定理
若\(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\)
且\(\lim\limits_{x\to a} g(x)=\lim\limits_{x\to a} h(x)=L\)
則\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=L\)
大家可以直觀的感受一下，因為講師不會證明
這東西有時候會用得上
講點有趣的東西
自然對數的底數 \(e\)
\(e=\lim\limits_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x\)
會收斂至一個數字，約為2.71828
相關性質可以查https://zh.wikipedia.org/wiki/E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0)
廢話講完了
接下來要進入到主要的部份
大家可以先休息一下
微分
微分是什麼
講微分之前要先講斜率
若一條直線通過\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)
則其斜率為\(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
(x2,y2)
(x1,y1)
微分是什麼
如果\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)是函數上的兩點
則這兩點連成的直線稱為一條割線
而這條直線的斜率就稱作割線斜率
微分是什麼
現在我們將\((x_2,y_2)\)朝\((x_1,y_1)\)逼近
當他們之間的距離趨近於零時
此時兩點連成的直線稱為切線
其斜率就稱為切線斜率
微分是什麼
對於某個函數\(f(x)\)
我們可以對某個\(x=a\)求切線斜率
也就是\(\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
稱作導數，也記做\(f'(a)\)
若此極限值存在，稱此函數\(f(x)\)「在\(a\)處可微分」
微分是什麼
若一個函數\(f(x)\)的每個\(x=a\)的導數皆存在
則此對應關係會形成一個新的函數
稱作\(f(x)\)的導函數，記作\(f'(x)\)，也記作\(\frac{df(x)}{dx}\)
即\(f'(x)=\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
而此計算過程稱作把函數\(f(x)\)微分
微分的性質
加減：\([f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)\)
係數積：\([af(x)]'=af'(x)\)
乘除？
微分的性質
[f(x)\cdot g(x)]'=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
=\lim\limits_{h\to 0}g(x+h)\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
微分的性質
[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\
=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\cdot g(x+h)g(x)}\\
=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\cdot g(x+h)g(x)}\\
=\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(x)\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x+h)g(x)}\\
=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}
除法的道理差不多
微分的性質
[f(g(x))]'=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\\
=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
=f'(g(x))\cdot g'(x)
連鎖律
有了這些東西就可以算微分了
常見函數的微分
常數函數\(f(x)=c\)
\(f'(x)=0\)
夠簡單吧XD
常見函數的微分
多項式函數
先處理最簡單的單項式
令\(f(x)=x^n\)，則\(f'(x)=?\)
常見函數的微分
f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\
=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sum_{k=0}^{n}C_k^nx^kh^{n-k}-x^n}{h}\\
=\lim\limits_{h\to 0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+...-x^n}{h}\\
=nx^{n-1}
展開(二項式定理)
\(h\)的次數2以上的項都是0
常見函數的微分
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\\
f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+2a_2x+a_1
然後再搭配前面的加法和係數積，就可以得到多項式的微分公式
微分的應用
求函數極值、凹向性
算極限(羅畢達法則)
物理：運動學
梯度下降(多變數微分)
etc.
積分
積分是什麼
講積分之前先要講面積
有一函數\(f(x)\)，定義此函數從\(a\)到\(b\)的定積分為函數圖形在區間\([a,b]\)內，"\(x\)軸上方面積-\(x\)軸下方面積"
以此圖形來說，就是紅色面積-橘色面積
定積分怎麼算
上和與下和
舉個簡單的例子
計算\(f(x)=x^2\)在\([0,1]\)之間的曲線下面積？
定積分怎麼算
切成很多個小長方形相加，稱為黎曼和
將最小值當作高，稱為下和
反之將最大值當作高，稱為上和
則真正的面積會介於下和與上和之間
定積分怎麼算
將下和與上和以數學式表示
假設切成\(n\)塊，取\(n\)個等間隔的分割點
所以第\(k\)個分割點為\(a+k\cdot \Delta x\)，其中\(\Delta x=\frac{b-a}{n}\)
下和\(L_n=\sum_{k=1}^{n}f(c_k)\Delta x\)
上和\(U_n=\sum_{k=1}^{n}f(d_k)\Delta x\)
其中\(c_k\)與\(d_k\)分別表示第\(k\)小段\([x_{k-1},x_k]\)中，最小值與最大值發生的\(x\)座標
定積分怎麼算
回到剛剛的例子
區間為\([0,1]\)，所以\(\Delta x=\frac{1}{n}\)
因為該圖形遞增，所以最小值都會發生在左界，而最大值發生在右界，因此
下和\(L_n=\sum_{k=1}^{n}f(c_k)\Delta x=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k-1}{n})\)
上和\(U_n=\sum_{k=1}^{n}f(d_k)\Delta x=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\)
定積分怎麼算
將\(n\)趨近於無限大
也就是算\(\lim\limits_{n\to \infty}L_n\)與\(\lim\limits_{n\to \infty}U_n\)
此時他們如果收斂至同一個值
且真實面積介於他們之間
根據夾擠定理，就可以得到答案
定積分怎麼算
來真正算一遍
L_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k-1}{n})\\
=\frac{1}{n^3}\cdot [0^2+1^2+...+(n-1)^2]\\
=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\frac{2n^2-3n+1}{6n^2}\\
U_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\\
=\frac{1}{n^3}\cdot [1^2+2^2...+n^2]\\
=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}
這裡用了一個大家可能不知道的結論，有興趣的可以自己證證看
定積分怎麼算
來真正算一遍
\lim\limits_{n\to \infty}L_n=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2n^2-3n+1}{6n^2}=\frac{1}{3}\\
\lim\limits_{n\to \infty}U_n=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\frac{1}{3}
所以答案\(=\frac{1}{3}\)
定積分
我們將一個函數\(f(x)\)在區間\([a,b]\)內的曲線下面積
稱為\(f(x)\)在\([a,b]\)的定積分
表示為\(\int_a^bf(x)dx\)
如：\(\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}\)
定積分的運算性質
等等補
不定積分與反導函數
如果有一個函數\(F(x)\)，他的導函數(也就是微分後的結果)為\(f(x)\)
則稱\(F(x)\)為\(f(x)\)的反導函數，亦稱為不定積分
可以得知，\(F(x)+C\)也會是\(f(x)\)的一個反導函數
(\(C\)代表常數)
不定積分的運算性質
等等補
於是，神奇的事情發生了
微積分第一基本定理
有一函數\(f(x)\)，定義\(F(x)\)為\(\int_a^xf(x)dx\)
則\(F'(x)=f(x)\)
於是，神奇的事情發生了
微積分第二基本定理
令\(F(x)\)為\(f(x)\)的一個反導函數，則
\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b\)
有關這兩個定理的證明附在下面
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
他可以幹嘛
這兩個定理告訴我們，求定積分=找反導函數
所以我們算定積分的時候，就可以不用每次都作黎曼和，直接找反導函數就好了！
回到剛剛的例題：
\(\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}x^3|_0^1=\frac{1}{3}\)
秒殺ww
不過事情似乎沒有那麼簡單
積分不像微分，沒有辦法乘、除，也沒有連鎖律
因此，數學家們開發出了非常多的計算技巧，以應付複雜的積分形式(ex:變數代換、分部積分...)
不過因為講師也不會所以就不多講
積分的應用
算曲線下面積
算立體圖形的體積
物理上的應用(很多)
The end
廢話時間
因為今年寒訓消失的關係
等我回來之後會講剩下的原本寒訓預定教的課
敬請期待~
寒訓補完計畫#1-微積分
By jass921026
