Sekant, Ändringskvot

och tangent, derivata

Sekant

fr. latinets secare, som betyder att (genom)skära.

(Tänk på ord som dissekera.)

En linje som skär en graf i två punkter - \((x_1,y_1)\) och \((x_2,y_2)\), eller \((x_1,f(x_1))\) och \((x_2,f(x_2))\).

Ändringskvot

Sekantents lutning.

\(\displaystyle=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)

Ändringskvot

Ändringskvoten brukar även kallas för medelförändrings- hastighet.

Jmf. med s-t diagram från fysiken. Medelhastigheten ges av:

\(\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}\)

Tangent

fr. latinets tanger, som betyder att röra eller snudda.

(Tänk på ord som tangentbord.)

En linje som tangerar/vidrör en graf i en punk - \((x,y)\) eller \((x,f(x))\).

Derivata

Tangentens lutning.

För att kunna bestämma den utifrån en funktion kommer vi behöva lite trix.

Derivata

Derivata kallas också ibland för momentan-förändringshastighet.

Jmf. Med st-diagram i fysiken:

För att bestämma momentanhastigheten behöver vi rita en tangent i grafen och avläsa tangentens lutning.

- Det visar sig att det finns ett bättre sätt om vi känner till funktionen. 

Lite övningar

Ändringskvot och Sekant

Bestäm utifrån grafen bredvid:

• Ändringskvoten mellan \( x_1=0\) och \( x_2=2\).
   
• Bestäm räta linjens ekvation på formen
  \( y=kx+m\) för sekanten.

Ändringskvot och Sekant

Bestäm ändringskvoten för punkterna med \( x\)-koordinater -2 och 2 för en graf med funktionen:

\( f(x)=-x^3+x^2+4x-3\)

Bestäm även sekantens ekvation.

Modeller och Tolkningar

Tabellen till höger visar folkmängden i en kommun.

Bestäm den genomsnittliga befolkningsändringen per år.

a) från 2002 till 2005

b) under hela perioden

c) från 2005 till 2007.

Tangent och Derivata

Funktionen \(f(x)=-x^3+x^2+4x-3\) har då \(x=0\) derivatan (momentanlutningen) 7.

Bestäm tangentens ekvation på formen \(y=kx+m\).

Rekommenderade Uppg.

2107, 08, 09, 12, 14, 16 (17,18)

(2124, 25, 26)

Mer om derivata

Sekanten närmar sig tangenten då de två punkterna närmar sig varandra