och tangent, derivata
fr. latinets secare, som betyder att (genom)skära.
(Tänk på ord som dissekera.)
En linje som skär en graf i två punkter - (x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1) och (x2,y2)(x_2,y_2)(x2,y2), eller (x1,f(x1))(x_1,f(x_1))(x1,f(x1)) och (x2,f(x2))(x_2,f(x_2))(x2,f(x2)).
Sekantents lutning.
=ΔyΔx=y2−y1x2−x1=f(x2)−f(x1)x2−x1\displaystyle=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=ΔxΔy=x2−x1y2−y1=x2−x1f(x2)−f(x1)
Ändringskvoten brukar även kallas för medelförändrings- hastighet.
Jmf. med s-t diagram från fysiken. Medelhastigheten ges av:
vˉ=ΔsΔt=s2−s1t2−t1\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}vˉ=ΔtΔs=t2−t1s2−s1
fr. latinets tanger, som betyder att röra eller snudda.
(Tänk på ord som tangentbord.)
En linje som tangerar/vidrör en graf i en punk - (x,y)(x,y)(x,y) eller (x,f(x))(x,f(x))(x,f(x)).
Tangentens lutning.
För att kunna bestämma den utifrån en funktion kommer vi behöva lite trix.
Derivata kallas också ibland för momentan-förändringshastighet.
Jmf. Med st-diagram i fysiken:
För att bestämma momentanhastigheten behöver vi rita en tangent i grafen och avläsa tangentens lutning.
- Det visar sig att det finns ett bättre sätt om vi känner till funktionen.
Bestäm utifrån grafen bredvid:
Bestäm ändringskvoten för punkterna med x xx-koordinater -2 och 2 för en graf med funktionen:
f(x)=−x3+x2+4x−3 f(x)=-x^3+x^2+4x-3f(x)=−x3+x2+4x−3
Bestäm även sekantens ekvation.
Tabellen till höger visar folkmängden i en kommun.
Bestäm den genomsnittliga befolkningsändringen per år.
a) från 2002 till 2005
b) under hela perioden
c) från 2005 till 2007.
Funktionen f(x)=−x3+x2+4x−3f(x)=-x^3+x^2+4x-3f(x)=−x3+x2+4x−3 har då x=0x=0x=0 derivatan (momentanlutningen) 7.
Bestäm tangentens ekvation på formen y=kx+my=kx+my=kx+m.
2107, 08, 09, 12, 14, 16 (17,18)
(2124, 25, 26)
By Jens Michelsen
