Gränsvärde och derivatans definition
Först lite om modellering med derivata
Fråga 1:
Temperaturen (°C) i en termos med kaffe beskrivs av funktionen \(f(t)\), där \(t\) är tiden i timmar efter kl 08:00.
Vad betyder det att:
a) \(f(2)=75\)
b) \(f'(2)=-5\)
Svar: Temperaturen kl 10:00 är 75 °C
Svar: Temperaturen minskar kl 10:00 med 5°C per timme.
Först lite om modellering med derivata
Fråga 2:
Pelle är \(f(x)\) cm lång när han är \( x\) år.
När han är 14 år är han 162 cm lång och växer 8 cm/år.
Formulera detta påsteånde med en eller flera matematiska uttryck som involverar funktionen \( f(x)\).
Svar: \( f(14)=162\) och \(f'(14)=8 \)
Först lite om modellering med derivata
Fråga 3:
En bil har efter tiden \(t \) sekunder kört sträckan \(s(t)\) meter.
Efter 5 sekunder är hastigheten 20 m/s.
Formulera detta påsteånde med en eller flera matematiska uttryck som involverar funktionen \( s(t)\).
Svar: \( s'(5)=20\)
Först lite om modellering med derivata
Fråga 4:
I ett skyddat område bor det kaniner, men rovdjur saknas.
Antalet kaniner det första halvåret ges av funktionen
\[N(t)=2 e^{\frac{t}{30}}\]
a) Hur många kaniner finns det från början?
b) Hur många finns det efter 60 dagar?
c) Beräkna och tolka \(N'(30)\).
Svar: \( N(0)=2\)
Svar: \( N(60)=2e^2\approx 14,8\)
Svar: \( N'(30)=\frac{2}{30}e^1\approx 0.18\)
Efter 30 dagar ökar antalet kaniner med 0.18 st per dag
Sen lite om begreppet derivata
Sen lite om begreppet derivata
Sen lite om begreppet derivata
Hur beräknas derivatan (lutningen i en punkt) då?
Sekanten närmar sig tangenten då de två punkterna närmar sig varandra
Ändringskvoten närmar sig derivatan då de två punkterna närmar sig varandra
Exempel: \(f(x)=x^2\)
Ändringskvot
\[\begin{aligned} \frac{\color{purple}\Delta y}{\color{orange}\Delta x}&=\frac{\color{purple}f(a+h)-f(a)}{\color{orange}(a+h)-a}\end{aligned}\]
Uppskatta \(f'(1)\) genom att bestämma ändringskvoten då \(a=1\) och \(h=0{,}1\).
Dvs bestäm \[ f'(1)\approx \frac{\color{purple}f(1{,}1)-f(1)}{\color{orange}1{,}1-1}\]
Ändringskvoten närmar sig derivatan då de två punkterna närmar sig varandra
Exempel: \(f(x)=x^2\)
Ändringskvot
\[\begin{aligned} \frac{\color{purple}\Delta y}{\color{orange}\Delta x}&=\frac{\color{purple}f(a+h)-f(a)}{\color{orange}(a+h)-a}\\ &=\frac{\color{purple}(a+h)^2-a^2}{\color{orange}(a+h)-a}\end{aligned}\]
a) Förenkla uttrycket.
b) Använd det förenklade uttrycket för att uppskatta \(f'(1)\).
Ändringskvoten närmar sig derivatan då de två punkterna närmar sig varandra
Exempel: \(f(x)=x^2\)
Ändringskvot
\[\begin{aligned} \frac{\color{purple}\Delta y}{\color{orange}\Delta x}&=\frac{\color{purple}f(a+h)-f(a)}{\color{orange}(a+h)-a}\\ &=\frac{\color{purple}(a+h)^2-a^2}{\color{orange}(a+h)-a}\\ &=\frac{\color{purple}a^2+2ah+h^2-a^2}{\color{orange}h}\\ &=\frac{\color{purple}2ah+h^2}{\color{orange}h}\\ &=\frac{\color{purple}(2a+h)h}{\color{orange}h}=2a+h\end{aligned}\]
Med \(a=1\) och \(h=0{,}1\):
\[ f'(1)\approx 2\cdot 1+0{,}1=2{,}1\]
Med \(a=1\) och \(h=0{,}01\):
\[f'(1)\approx 2\cdot 1+0{,}01=2{,}01\]
Introducerar begreppet gränsvärde
Gränsvärde
Vi skriver
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\)
om \(f\) utav \(x\) går mot \(L\) då \(x\) går mot \(a\) (men aldrig blir \(a\)).
Exempel:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(2x^2+3x\right)=5\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(3x+2\right)=2\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x}\right)=\infty\)
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{2x^2+3x}{x}\right) = \lim_{x\rightarrow 0}\left(2x+3\right)=3\)
Derivatans definition
Derivatan i en punkt \(x=a\) ges av gränsvärdet:
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
Exempel:
\(f(x)=2x^2\)
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(4a+2h)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\left(4a+2h\right)=4a\)
Så \(f'(1)=4\cdot 1=4\), \(f'(2)=4\cdot 2=8\) osv.
Modellering, gränsvärde och derivatans definition
By Jens Michelsen
