Bewijzen en redeneren voor informatici
Oefenzitting 2: Logica
Basisconcepten
- Logische bewering P is waar/onwaar (1/0)
-
Samengestelde beweringen door beweringen P,Q te combineren:
- conjunctie, en \( \wedge\)
- disjunctie, of \( \vee\)
- ontkenning, niet \( \neg\)
- implicatie, \( \Rightarrow\)
- equivalentie \( \Leftrightarrow\)
en de samengestelde bewering in haar geheel is terug waar/onwaar
Basisconcepten
-
Waarheidstabel
- Nuttige tool om waarheidswaarde van samengestelde bewering na te gaan!
- Bevat alle mogelijke combinaties van waar/onwaar van de componenten van de samengestelde bewering
- Volledige beschrijving van de samengestelde bewering
-
Kwantoren zijn handig als we logische uitspraken willen doen over elementen van verzamelingen
- Universeel \( \forall x \in A: P(x) \)
- Existentieel \( \exists x \in A: Q(x) \)
- Net zoals bij verzamelingen, zijn er hier rekenregels
Oefeningen
Oefening 2.6
Waarheidstabel `exclusieve of': P\(\ \oplus\) Q
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
P
Q
P\(\ \oplus\) Q
Oefening 2.10
Stel dat P ⇒ Q waar is, en P is onwaar: wat kunnen we dan
besluiten over Q?
Q kan zowel waar als onwaar zijn. We kunnen dus niks besluiten.
Oefening 2.16
- K = de letter is een klinker
- E = het cijfer is even
de implicatie die moet gelden is dan K => E.
A B 5 X 6 E F 2
Als de letter een klinker is, moet het cijfer op de andere kant even zijn. Hoeveel kaartjes moet je omdraaien?
Oefening 2.16
- K = de letter is een klinker
- E = het cijfer is even
- K => E.
A B 5 X 6 E F 2
- De letter A maakt K waar, dus moet worden nagegaan of het cijfer voor deze kaart even is: anders is de implicatie onwaar.
- De letter B maakt K onwaar, waardoor de implicatie automatisch waar is, dus deze kaart hoeft niet omgedraaid te worden.
- Het cijfer 5 is niet even, dus mag de letter op de andere kant geen klinker zijn (volgens modus tollens!), dus deze kaart moet ook omgedraaid worden.
- X maakt ook K onwaar, dus deze kaart hoeft niet omgedraaid te worden.
- 6 maakt E waar, dus hier is de implicatie ook automatisch waar; deze kaart hoeft niet omgedraaid te worden.
- Op soortgelijke wijze kunnen we bepalen dat van de overige kaarten, alleen E hoeft te worden omgedraaid.
- Uiteindelijk 3 kaartjes om te draaien!
Oefening 2.24
Toon aan dat P ⇒ Q logisch equivalent is met ¬P ∨ Q.
=
Oefening 2.26
Welk van deze beweringen zijn altijd waar, soms waar (afhankelijk van A en B), of nooit waar
\forall x \in A \cap B: x \in A
\forall x \in A \cup B: x \in A
Altijd waar, (\(x\) in doorsnede).
N.b.: Dit is ook zo als \(A\) de lege verzameling is!
Soms waar. (\(x\) in unie)
Oefening 2.31
Verbind wat equivalent is
Oefening 2.38
Toon aan dat P ∧Q ⇒ P ∨Q een tautologie is, door rekenregels toe te passen.
P\wedge Q\Rightarrow P\vee Q \equiv \neg(P\wedge Q)\vee P\vee Q\\
\equiv (\neg P\vee\neg Q)\vee P\vee Q \\
\equiv \neg P\vee P\vee\neg Q\vee Q \\
\equiv \text{waar}\vee\text{waar} \\
\equiv \text{waar}. \\
bri-2021-02
By Jonas Soenen
bri-2021-02
BRI Exercise Lecture 02
