Natural Deduction -

Basic Proofs

Natural Deduction

Conjunction

p

q

_______

p & q

 

p & q

__________

p

 

(p -> r) & (q V s)

__________

q V s

 

Simplification

 

p

__________

p V q

 

p

__________

p V (r & s)

Addition

Natural Deduction

Modus Ponens

p -> q

p

_______

q

Modus Tollens

p -> q

~q

_______

~p

Natural Deduction

Proof 1

PREMISES:

(p & q) & (r & (s & t))

CONCLUSION:

s

1. (p & q) & (r & (s & t))                      PREMISE

2. r & (s & t)                          SIMPLIFICATION (1)

3. s & t                           SIMPLIFICATION (2)

4. s                              SIMPLIFICATION (3)

Natural Deduction

Proof 2

PREMISES:

(p & (q V r)) & (r & (s <-> t))

CONCLUSION:

p & r

1. (p & (q V r)) & (r & (s <-> t))       PREMISE

2. p & (q V r)                     SIMPLIFICATION (1)

3. p                              SIMPLIFICATION (2)

4. r & (s <-> t)             SIMPLIFICATION (1)

5. r                               SIMPLIFICATION (4)

6. p & r                        CONJUNCTION (3, 5)

Natural Deduction

Proof 3

PREMISES:

(p & q) -> r

p & s

q

CONCLUSION:

r V t

Proof:

1. (p & q) -> r      PREMISE

2. p & s                PREMISE

3. q                       PREMISE

4. p                      SIMPLIFICATION (2)

5. s                       SIMPLIFICATION (2)

6. p & q              CONJUNCTION (3, 4)

7. r                     MODUS PONENS (1, 6)

8. r V t                ADDITION (7)

Natural Deduction

Proof 4

PREMISES:

p -> (q & r)

~(q & r)

CONCLUSION:

~p & ~(q & r)

Proof:

1. p -> (q & r)                  PREMISE

2. ~(q & r)                        PREMISE

3. ~p                   MODUS TOLLENS (1, 2)

4. ~p & ~(q & r)    CONJUNCTION (2, 3)

Natural Deduction

Proof 5

PREMISES:

p -> q

p & r

s -> ~(q V r)

CONCLUSION:

~s & p

Proof:

1. p -> q                     PREMISE

2. p & r                       PREMISE

3. s -> ~(q V r)           PREMISE

4. p                           SIMPLIFICATION (2)

5. r                      SIMPLIFICATION (2)

6. q V r               ADDITION (5)

7. ~s                    MODUS TOLLENS (3, 6)

8. ~s & p          CONJUNCTION (4, 7)