Natural Deduction - Advanced Proofs

Natural Deduction

PREMISES:

(s V t) -> (s -> ~t)

(s -> ~t) -> (t -> k)

s V t

CONCLUSION:

s V k

PROOF

1. (s V t) -> (s -> ~t)                   PREMISE

2. (s -> ~t) -> (t -> k)                  PREMISE

3. s V t                                        PREMISE

4. (s V t) -> (t -> k)                     H.S. (1, 2)

5. t -> k                                      M.P. (3, 4)

6. ~s -> t                                    Impl. (3)

7. ~s -> k                                   H.S. (5, 6)

8. ~~s V k                                  Impl. (7)

9. s V k                                       D.N. (8)

Natural Deduction

PREMISES:

h -> u

CONCLUSION:

h -> (u V t)

 

PROOF

1. h -> u                PREMISE

2. h                        ASSUMPTION

3. u                        M.P. (1, 2)

4. u V t                   Addition (3)

5. h -> (u V t)        Conditional Proof (2, 4)

Natural Deduction

PREMISES:

q -> (w & d)

CONCLUSION:

q -> w

PROOF

1. q -> (w & d)                 PREMISE

2. ~q V (w & d)                Impl. (1)

3. (~q V w) & (~q V d)     Dist. (2)

4. ~q V w                         Simp. (3)

5. ~~q -> w                      Impl. (4)

6. q -> w                          D. N. (5)

Natural Deduction

PREMISES:

(i -> e) -> c

c -> ~c

CONCLUSION:

i

PROOF

1. (i -> e) -> c                             PREMISE

2. c -> ~c                                    PREMISE

3. (i -> e) -> ~c                           H.S. (1, 2)

4. ~c V ~c                                   Impl. (2)

5. ~c                                           Tautology (4)

6. ~(i -> e)                                  M. T. (1, 5)

7. ~(~i V e)                                 Impl. (6)

8. ~~i & ~e                                 D.M. (7)

9. ~~i                                          Simp. (8)

10. i                                            D.N. (9)