樹的DFS順序 - 1

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他的用處：用序列表示樹

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紀錄每個點的左界和右界，代表該點的子樹的區間。

考慮這種問題

樹上每個點上有一個數值$a_i$，

處理 $q$ 筆操作。

1. 改變某個點的值
2. 詢問以$v$為子樹的數值和

在樹上歐拉遍歷 - 2

進去和離開點時都把點加到序列裡面，

也就是說序列長度為$2n$

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進入：1, 2, 9,    5, 8,        7,         6, 10, 3,          4, 

離開：            9,        8, 5,    7, 2,               3, 10,    4, 6, 1

解決路徑相關的問題！

尋找根到任意節點的路徑

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$\text{In}$：1, 2, 9,    5, 8,        7,         6, 10, 3,          4, 

$\text{Out}$：         9,        8, 5,    7, 2,               3, 10,    4, 6, 1

考慮區間$[in[1], in[v]]$

所有只出現一次$in$的點都在$(1, v)$的路徑上，$in$跟$out$都出現的點應該被「抵銷」掉。

如果題目求的數值是可以用扣的(ex.路徑和)，那可以將$(u, v)$拆成

$(1, u) + (1, v) - 2 * (1, lca(u, v))$

還有一種樹壓平-3

在歐拉遍歷時每次遇到一個點就把他紀錄下來。

額外紀錄一個深度陣列

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$arr$: 1, 2, 7, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 2, 1, 6, 3, 3, 6, 4, 4, 6, 1

$dep$: 0, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 0

用這種方法找路徑

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$arr$: 1, 2, 7, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 2, 1, 6, 3, 3, 6, 4, 4, 6, 1

紀錄每個點的首次出現($in$)和最後一次出現($out$)時間

對於兩個節點$u, v \ (in[u] < in[v])$：

1. $v$在$u$的子樹內 (ex. 1-8)

$[in[u], in[v]]$

2. $v$ 不在$u$的子樹內 (ex. 5-4)

$[out[u], in[v]]$

用樹壓平做$O(n \log n)/ O(1)$ LCA

一樣定義$in[v], out[v]$分別為點$v$第一個、最後一個出現在序列的位置

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$arr$: 1, 2, 7, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 2, 1, 6, 3, 3, 6, 4, 4, 6, 1

$dep$: 0, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 0

以下是練習題

大家自己判斷要怎麼樹壓平！

例題1： USACO Plat, Promotion Counting

給你一棵樹，每個點上有值$v_i$，對於每個點$u$，找出他子樹內有幾個點$v$值比$u$大。

$n \leq 10^5, v_i \leq 10^9$

例題2：USACO Gold: Cow Land

給你一棵樹，每個點上有值$a_i$，有$q$筆詢問，每次問兩個點$u, v$的路徑間的$xor$和。

$n, q \leq 10^5, a_i \leq 10^9$

例題3：TIOJ 1272: The Agency

給一棵有根樹，上面每個點是 1 或 0 （一開始全部是0），接下來有$q$筆操作。

1. 改一個子樹裡面每個點的值 (0變1, 1 變 0)

2. 詢問一個點的值

$n, q \leq 10^5$

例題4：CSA - Trees Partition

給你兩棵有$n$個節點的樹$T_1, T_2$，

請找出有多少對邊$e_1 \in T_1, e_2 \in T_2$，使得當我們分別把這兩條邊拔掉後，兩棵樹上所製造的兩個連通塊點集可以一一對應。

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如左圖有三組解：

$n \leq 10^5$

註：想想看確定性（不用random/hash）的解

例題5：數樹問題

在樹上DP有什麼特別的？

• 通常需要考慮不定數量個轉移點（例如子節點數量）
• 有根樹 vs 無根樹
• 有時候他根本不是DP，而是分治或Greedy
• 有不同的應用/變形

樹DP常見的想法：

把根拔掉，拆成一棵棵的子樹

簡單的例題：樹上最大匹配

給定一棵樹，選出一個邊的集合$S$，使得$S$裡面任兩條邊都沒有共用點，並且$|S|$盡量大。

$O(n)$

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解一：DP

令$dp[0][v]$代表以$v$為根的子樹中，不把$v$連到子節點的最大邊數。

$dp[1][v]$代表把$v$連到其中一個子節點的最大邊數。

$dp[0][v] = \sum max(dp[0][u], dp[1][u])$

$dp[1][v]$要怎麼辦？

解一：DP

所有子節點$u$中，至少要有一個使用$dp[0][u]$，其他的可以用$max(dp[0][u], dp[1][u])$

也就是說：

解二：其實Greedy就好了

從葉節點開始選，如果可以配對就配對，並把配對的兩個節點拔掉。

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其實樹DP大概就這樣

但他超難><

以下的題目會有某些 OI 題的雷

例題：BOI Village (Minimum)

給你一棵樹，每個節點上面有一個人，現在每個人都必須去一個不同的節點，而且每個節點最後只能有一個人，問所有人移動距離的最小總和（並輸出移動方法）。

$n \leq 10^5$

例題2: Appleman and Tree

給你一棵樹，每個節點是黑色或白色，問有多少種方法把樹分成任意多個連通塊，使得每個連通塊內洽有一個黑點。

（答案模$10^9 + 7$)

$n \leq 10^5$

例題3:CSES: Creating Offices

給你一棵$n$個節點的樹和距離$D$，請選出最多個點，使得任兩點的距離至少為$D$。

全方位木DP

なに

在大部份的樹DP問題，我們都可以直接選根

但有時候我們必須考慮所有可能的根

要怎麼有效率的做這件事呢？

來看一個裸題

Tree With Maximum Cost

在一棵樹上，點有點權$a_i$，請找出一個點$v$，使得$\sum_{1 \leq i \leq n} dist(i, v) \cdot a_i$ 最大

$n \leq 2 \times 10^5$

$O(n^2)$顯然可做，但是要怎麼優化？

優化暴力？

先隨便選一個點DFS，用一個變數紀錄答案，並對每個點存兩個值：

• 子樹大小
• 子樹內的$a_i$總和

當我要從目前的根$u$移動到相鄰的點$v$為根時...

u

v

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只會改到$u, v$的資訊！

$O(1)$更新

並維護答案

我們做得到的事

在$O(1)$內把根往一條邊移動

這樣就夠了

例題1: TIOJ 魔法鏈

給你一棵樹，你每次可以選一個葉子（只有連到一個點）的節點，把他的編號紀錄在一個序列，並拔掉那個點。問可以形成的序列數。

註：本題的$n \leq 2000$，但其實可以做到$n \leq 2 \times 10^5$

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合法序列有：

9, 8, 5, 7, 2

7, 8, 5, 2, 9

...

不合法序列有：

9, 5, 8, 7, 2

例題2: Distinctive Roots in a Tree

給你一棵樹，點有點權$a_i$，一個「好的」根節點$v$會符合，對於任意一條從$v$到點$u$的路徑，路徑上都不會有權值相同的點。問有幾個好的根節點。

$n \leq 2 \times 10^5$

還記得倍增法的LCA怎麼做嗎？

對每個點維護他的$1, 2, 4, ..., 2^k$倍祖先，即可以在$O(\log n)$時間內找到一個點的$x$倍祖先。

其實，這個技巧不一定要在樹上也可以做。

一個常見的變形是：一個點指向另一個（可能有環）

這題：Lynyrd Skynyrd

你有一個 1~n 的排列$p$和一個長度為$m$的序列$a$，

保證$1 \leq a_i \leq n$。

接著有$q$筆詢問，每次問區間$[l, r]$，回答$a$裡面是否存在一個在$[l, r]$內的子序列，是排列$p$的某個循環移位 (Cyclic shift)

$n, m, q \leq 2 \times 10^5$

假設我固定子序列的第一項，如果他是答案的話，考慮最後一項....

提示->

倍增法還可以做什麼

把一條路徑分成$\log n$條不重疊的路徑！

當我們在處理可合併的東西的時候(ex. min, max, sum, gcd, ...)，在做倍增表的時候就可以一邊紀錄這個東西，並用相同的方法在$O(\log n * 合併時間)$找答案。

相信大家都有看過這一類題目了：

https://ojdl.ck.tp.edu.tw/problem/7110

初選pD (Work in progress)

LCA 的一個（有點廢話的）性質

• 每一對點會有恰好一個LCA，因此可以用枚舉LCA的方式枚舉路徑

• 其實我原本要寫更多性質的但我想不到了

例題：MST For each Edge

給你一張圖，邊有邊權，對於每一條邊，找到包含那條邊的最小生成樹權值。

$n, m \leq 2 \times 10^5$，圖連通

例題：Root LCA Queries

給你一棵樹，有$q$筆詢問，每次問三個點$a, b, c$，回答有多少點$d$，使得如果你把$d$當根節點，$lca(a, b) = c$。

$n, q \leq 10^5$，

補充：強強的LCA

使用$O(n)$記憶體和預處理時間，一樣$O(\log n)$跳$k$倍祖先

然後其實倍增表能做到的所有事情他都可以做到（因為路徑一樣可以被拆解）。

啟發式合併？

簡單來說，就是當我們要合併兩個大小為$a, b \ (a \geq b)$的資料結構（可以是序列，set，map...）時，把小的合併到大的。

他跟樹上問題的關係？

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假設我對一個子樹必須維護$O(子樹大小)$的東西

那在合併子樹答案的時候就可以用這個方法。

他的複雜度是...?

什麼？多一個 log 而已

有$n$個點，每次合併大小為$a, b$的連通塊時需要$O(min(a, b))$的時間。

考慮一個點所在的連通塊大小，每次他「被合併到其他連通塊」時，這個大小會增加為原本的至少$2$倍，也就是說一個點只會被算到$O(\log n)$次。

有$n$個點，所以總共合併 $O(n \log n)$次

例題：Lomsat Gelral

給你一棵有根樹，每個點上有顏色$c_i$，一個子樹內的顏色為「重要」的，代表沒有其他顏色在那個子樹內出現比該顏色更多次（也就是說可能有多個重要的顏色）。

對於每個點，找到該子樹所有重要顏色的編號($c_i$)總和。

$n \leq 10^5$

例題：忍者調度問題

 給你一棵有根樹以及預算上限$M$，每個點上是一個忍者，有出動費用$c_i$和領導值$l_i$，如果你選了$v$為領導人，則他的滿意度為

$l_v \times 預算內能在v子樹內出動的忍者數量$

請找出最大的滿意度。

$n \leq 10^5, M, c_i, l_i \leq 10^9$ 

例題：POI: Tree Rotations

 給你一棵$n$個葉節點的二元樹，每個葉子上有一個值$a_i$，且所有$a_i$形成一個排列。

你可以選擇任意個非葉節點並把他們的左右小孩交換。在交換之後，我們用前序遍歷這棵二元樹並上葉節點上的值紀錄成一個序列，

求這個序列最少的逆序數對數。

$n \leq 2 \times 10^5$

Binary Jumping 的問題

一個點會被$O(n)$個區間覆蓋到，所以如果點上要修改，會有$O(n)$個值改變。

我們需要把樹上路徑切成$O(\log n)$條不相交的路徑，而且每個點都只被一個紀錄的路徑覆蓋到。

所以就有樹鏈剖分了

每個點都屬於一條樹鏈

考慮點$v$所在的樹鏈$d(v)$和他所有的小孩$u$。

子樹大小最大的一個小孩會有$d(u) = d(v)$。

其他的小孩屬於一條新的樹鏈。

這樣的複雜度

定義$up(v)$為點$v$所在樹鏈的「頂端」的節點。

那考慮一個點$v$走到根的路徑中，依序經過的樹鏈頂端的子樹大小。

跳到另一個樹鏈時，樹鏈頂端的子樹大小至少會加倍。

至多只會經過$O(\log n)$條樹鏈

那樹鏈剖分之後呢？

任意一條路徑可以被拆成$O(\log n)$條樹鏈組成的路徑

把一條樹鏈當成序列的一個區間，一條路徑會變成$O(\log n)$個區間，可以用線段樹維護。

那我們就會做這種問題

給你一棵樹，點有點權$a_i$，處理$q$筆操作。

1. 把點$v$的值改成$x$
2. 詢問$u$到$v$路徑的最大$a_i$值

$n, q \leq 10 ^5$

BOI 2016: Swap

卡常

 IOI 2007: Training

(TIOJ 1346)

CEOI 2020: Star Trek

Victor Takes Over Canada

在一個$n$個點的有根樹上，每個點有顏色$1 \leq c_i \leq K$，接著有$q$筆操作：

1. 把一個點的顏色改為$x$

2. 詢問以$v$為根的子樹有多少種不同的顏色

$n \leq 5 \times 10^5, q \leq 3 \times 10^5, SLOW JUDGE$

這題有兩種解法w

APIO 2010: Patrol

TIOJ 1746

JOI 2020: Joitter

CF: Boboniu and Jianghu

CSA: Meow

COI 2016: Torrent

BOI 2015: Editor