Introdução à Estatística e Estatística Descritiva
Prof. Dr. Pedro Costa Ferreira
Pra que serve a Estatística?
- Porque nos permite entender e lidar com a idéia de variabilidade;
-
Um exemplo típico é:
Produção de parafusos. Uma fábrica produz parafusos, que devem ter diâmetros dentro de certas especificações. Ao medirmos os diâmetros de 100 parafusos produzidos ao acaso existirão variações individuais;
- Estas variações são importantes? Até que ponto as variações observadas são aceitáveis?
Estatística
Em geral um número em Estatística não é apenas um número! A ele associamos uma medida de incerteza ou variabilidade.
População e Amostra
- População: coleção de todos os elementos cujas características desejamos conhecer. Os elementos (ou "indivíduos") na população não são necessariamente pessoas!
- Amostra: subconjunto da população cujas características serão medidas. A amostra será usada para descobrir características da população.
teste
Exemplos
População: eleitores na cidade do Rio de Janeiro.
Amostra: 650 eleitores escolhidos aleatoriamente (ao acaso).
Característica de interesse: percentual de eleitores que
planejam votar num candidato X nas próximas eleições.
População: automóveis produzidos no Brasil entre 1997 e 2002.
Amostra: 10000 carros escolhidos aleatoriamente dentre os sujeitos a recall das montadoras.
Característica de interesse: verificar se o proprietário do carro respondeu ao chamado de recall da fábrica.
1
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Exemplos
População: todos os domicílios com TV na cidade do Rio de Janeiro.
Amostra: 1000 domicílios com TV escolhidos ao acaso.
Característica de interesse: percentual de audiência de cada emissora de TV num certo dia da semana no horário de 18 às 22 horas.
Em resumo: A partir de uma amostra coletamos informações que nos permitem aprender alguma coisa interessante sobre a população.
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Por que fazer isso?
- É economicamente eficiente! Os custos são infinitamente mais baixos que os de amostrar a população inteira (“censo”).
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Pode-se provar que, para populações muito grandes, uma amostra de cerca de 600 ou 1000 "indivíduos" fornece resultados bastante confiáveis sobre as características da população.
E agora?
- Você coletou uma amostra e, dentro desta amostra você coletou dados numéricos (por exemplo, o consumo médio mensal em kWh dos domicílios numa certa área da cidade). O que fazer com isso?
Você pode simplesmente descrever estes dados numéricos através de gráficos e tabelas. Isto é chamado de estatística descritiva. A maioria das pesquisas de mercado faz só isso, que é sem dúvida, muito importante.
Existem duas possibilidades:
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E agora?
Você pode tentar tirar conclusões sobre as características da população a partir dos dados observados na amostra.
Isso se chama estatística inferencial (ou simplesmente estatística!). Para que a gente consiga fazer isso, é necessário ter uma noção bastante abrangente de Probabilidades.
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E agora?
- Na verdade, a estatística descritiva surgiu muito antes da estatística inferencial.
-
Esta última depende da especificação de modelos matemáticos baseados numa noção fundamental, que é a de "probabilidade".
Estatística Descritiva
Estatística Descritiva
- Gráficos (A picture is worth one thousand words)
- Histograma
- Diagramas de Pareto
- Gráficos de dispersão, gráficos da variável ao longo do tempo, gráficos de barras, etc...
- Medidas Númericas
- Média amostral
- Mediana amostral
- Desvio padrão amostral
- Variância amostral
- Assimetria e Curtose amostrais
- Percentis
- Covariância e Correlação amostrais
Gráfico de Dispersão
(uma variável versus outra)
Histograma
Note que este histograma usa intervalos diferentes dos especificados na tabela de freqüência mostrada anteriormente
Histograma
Histograma – Retorno diário do preço do petróleo WTI – 01/1991 a 08/2006
Medidas Númericas
- A partir de agora suponha que os dados observados na amostra são
x_1, x_2, x_3, ..., x_n;
x1,x2,x3,...,xn;
- é o tamanho da amostra;
n
n
- A partir dos x's vamos encontrar números que resumem as características da amostra. Vamos estar interessados em dois tipos principais de medidas numéricas: as que caracterizam a localização do centro da amostra e as que caracterizam a dispersão dos dados.
Medidas Númericas
- Medidas de Localização ou de tendência central
- Medidas de Dispersão
- dizem onde está o "meio" dos seus dados;
-
exemplo: média e mediana amostrais.
- dizem o quanto os seus dados estão “espalhados”;
-
exemplo: desvio padrão e variância amostrais, amplitude amostral.
Medidas de Tendência Central
- Média Amostral
\bar{X} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} X_n
Xˉ=21∑i=1nXn
- Considere agora a amostra e suponha que você a ordene, de tal forma que seja o menor elemento da amostra, seja o segundo menor elemento, ...., seja o maior elemento da amostra. Os valores
são chamados de estatísticas de ordem da amostra. Outras medidas de tendência central e de dispersão serão definidas a partir das estatísticas de ordem.
x_1, x_2, ..., x_n
x1,x2,...,xn
x_{(1)}
x(1)
x_{(2)}
x(2)
x_{(n)}
x(n)
x_{(1)}, x_{(2)}, ..., x_{(n)}
x(1),x(2),...,x(n)
Medidas de Tendência Central
- Mediana
É definida a partir das estatísticas de ordem
m = \frac{ X_{(n/2) + X_{(n/2 + 1)}}}{2}
m=2X(n/2)+X(n/2+1)
m = X_{(n/2 + 1)}
m=X(n/2+1)
Se n é par
Se n é impar
- Por exemplo, se existem 10 observações na amostra, a mediana equivale à média entre e . Se a amostra contém 11 elementos, a mediana é . A mediana amostral é menos influenciada que a média por observações aberrantes (“outliers”).
x_{(5)}
x(5)
x_{(6)}
x(6)
x_{(5)}
x(5)
Medidas de Tendência Central
- Por exemplo, se os seus dados são 1,2,3,4,5, a média amostral é: (1+2+3+4+5)/5 = 3 e a mediana amostral tem o mesmo valor.
-
Se agora os dados são: 1,2,3,4,45, a média amostral é: (1+2+3+4+45)/5 = 11, mas a mediana amostral continua sendo 3.
- Logo, a média amostral foi profundamente influenciada por um único valor, e o mesmo não aconteceu com a mediana amostral.
Medidas de Dispersão
- As medidas de tendência central não são as únicas medidas necessárias para caracterizar uma amostra (ou população);
-
Precisamos também saber o quanto as observações na amostra estão "espalhadas";
- Por exemplo, no gráfico a seguir as populações têm a mesma média, mas certamente a segunda distribuição tem maior dispersão.
Medidas de Dispersão
Tem maior dispersão:
é mais “espalhada”
Medidas de Dispersão
-
Variância Amostral
É a medida mais comum de dispersão . A variância amostral, denotada por é definida como:
s^2
s2
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left ( X_i - \bar{X} \right )
s2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉ)
- Note que, por definição, a variância amostral é sempre não negativa!
- A unidade de medida da variância é o quadrado da unidade de medida das observações, o que dificulta a sua interpretação.
Medidas de Dispersão
-
Desvio Padrão Amostral
O desvio padrão amostral, denotado por s, é definido como a raiz quadrada positiva da variância amostral. Pelos comentários anteriores, notamos que s é expresso nas mesmas unidades de medida que as observações na amostra.
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left ( X_i - \bar{X} \right )}
s=s2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉ)
Medidas de Dispersão
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Coeficiente de variação amostral
É uma medida adimensional, e serve principalmente para comparar duas amostras que foram coletadas em unidades de medida diferentes, por exemplo, uma em cm e outra em polegadas.
CV = \frac{s}{\bar{X}}
CV=Xˉs
- Amplitude Amostral
A = X_{(n)} - X_{(1)}
A=X(n)−X(1)
Percentis
- O percentil x% é o ponto tal que, a probabilidade de estar abaixo dele é x%.
- O percentil 50% é a mediana de um conjunto de dados, e qualquer percentil entre 0 e 100% pode ser encontrado através da função PERCENTIL do Excel.
Quartis
- Primeiro Quartil: Q1 – é o percentil 25%, ou seja, 25% das observações estão abaixo de Q1
- Segundo Quartil: Q2 - é a mediana
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Terceiro Quartil: Q3 – é o percentil 75%
Estatísticas Descritivas – Retorno do Petróleo WTI – 01/1991 a 08/2006
Percentis – Retorno do Petróleo WTI
– 01/1991 a 08/2006
5% dos retornos abaixo de -3.53%
90% dos retornos abaixo de +2.51%
Boxplot
- O boxplot dá uma idéia da posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes;
- A posição central é dada pela mediana e a dispersão por:
-
As posições relativas quartil 1, quartil 2 e quartil 3 dão uma noção da assimetria da distribuição;
-
Os comprimentos das caudas são dados pelas linhas que vão do retângulo aos valores remotos e pelos valores atípicos (outliers), que são, geralmente representados por asterísco.
d_p = Q_3 - Q_1
dp=Q3−Q1
Boxplot
Assimetria
-
O coeficiente de assimetria amostral é definido como:
Se o coeficiente é zero, seus dados são simétricos em torno da média.
Se o coeficiente é positivo (assimetria positiva), existem valores “grandes” maiores que a média => existe uma cauda comprida para a direita.
Assimetria
- Em geral, se a assimetria é positiva, a média é maior que a mediana.
- Na curva A acima a assimetria é positiva, a curva B é simétrica e a curva C tem assimetria negativa.
- O oposto ocorre se a assimetria é negativa (em geral média menor que a mediana).
Assimetria
Dados com assimetria positiva
Dados simétricos
Curtose
-
É uma medida do “achatamento” de uma distribuição de probabilidade.
- Como a distribuição Normal tem curtose igual a 3, usualmente define-se o “excesso de curtose”, ou seja, o quanto uma distribuição de probabilidade tem mais curtose que a Normal.
Curtose
-
Distribuições de retornos de ativos financeiros geralmente tem a “cara” de uma Normal, mas com excesso de curtose!
Ao lado, a curva B é a normal padrão
e a curva A tem excesso de curtose.
Introdução à Estatística e Estatística Descritiva Prof. Dr. Pedro Costa Ferreira
Introdução à Estatística e Estatística Descritiva
By Matheus Camelo
Introdução à Estatística e Estatística Descritiva
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