Ранняя история и математические основы программирования:

Чёрч, Карри, Тьюринг

Кольцов Максим

Наивная теория множеств

Георг Кантор

• 1870-1900 — создание Кантором основных идей теории
• 1901— парадокс Рассела. Проблема теории Кантора — слишком "общее" построение множеств

• 1908-1921 — аксиоматика ZF
• 1931 — теоремы Гёделя о неполноте

Математическая логика

• Классическая логика: исчисление высказываний
• Логика первого порядка: кванторы
• Интуиционистская логика: важность доказательства
• Математический конструктивизим

Modus Ponens

Проблема останова

• Проблема Гильберта — есть ли алгоритм, доказывающий формулы?
• 1935-1936 — Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг: нет

Алан Тьюринг

Алонзо Чёрч

Почему нет?

def g():
    if halts(g):
        loop_forever()

Машина Тьюринга

Бесконечная лента, головка и правила перехода

Лямбда-исчисление

• Переменные: $x$, $y$

• Применение: $f x$, $f x y = (f x) y$

• Абстракция: $\lambda x . f x$

• Бета-редукция:

  $$(\lambda x . f z) y = f y$$

• Функции нескольких переменных? $\lambda x . (\lambda y . f x y)$

• Рекурсия? $Y=\lambda f\,.(\lambda x\,. f(x\ x))\;(\lambda x\,. f(x\ x))$

Проблема останова?

Типизированное

λ-исчисление

• Каждая переменная имеет тип: $e : \tau$
• Если $x : \sigma$, $e : \tau$, то $\lambda x . e : \sigma \to \tau$
• Если $e_1 : \sigma \to \tau$, $e_2 : \sigma$, то $e_1 e_2 : \tau$

Haskell как реализация лямбда-исчисления

f :: Integer -> String
f = \x -> (show x) ++ "!"

b :: String
b = f 1

fact :: Integer -> Integer
fact 0 = 1
fact n = n * fact (n - 1)

Изоморфизм

Карри-Говарда

Хаскел Карри

• Все высказывания — типы
• Есть терм — есть доказательство

Автоматическое доказательство и проверка кода

• 1989 — первая версия доказывателя теорем
• 2004 — проверка теоремы о четырёх красках
• 2015 — баг в TimSort, найденный с помощью KeY