Wellenfunktionen und Interferenz in einer quantenmechanischen Welt

\Psi

Moritz F. Kuntze

Übersicht

  • Komplexe Zahlen
  • Licht als Welle und das Doppelspaltexperiment
  • Der Photoeffekt und Probleme der Quantisierung
  • Die quantenmechanische Wellenfunktion

Komplexe Zahlen

Eine Erweiterung der reellen Zahlen in die zweite Dimension

0

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

i^2 = -1

Imaginäre Einheit

1

2

3

4

5

0

i

2i

3i

4i

-i

-2i

-3i

-4i

-1

-2

-3

-4

-5

4
3i
z = 4 + 3i
z = a + bi\\ a, b\in\mathbb{R}
a = \Re(z)
b = \Im(z)

1

2

3

4

5

0

i

2i

3i

4i

-i

-2i

-3i

-4i

-1

-2

-3

-4

-5

4
3i
z = 4 + 3i
|z| = \sqrt{a^2+b^2} = 5

Warum?

Warum nicht einfach Vektoren?

Vektoren

  • Keine seltsamen Definitionen

Komplexe Zahlen

  • Alle Grundrechenarten lassen sich definieren

Multiplikation

=

Rotation in der komplexen Ebene

1

2

3

4

5

0

i

2i

3i

4i

-i

-2i

-3i

-4i

-1

-2

-3

-4

-5

2+2i
(2+2i) \cdot i
(2+2i) \cdot i = 2i -2

Soweit Fragen?

Polarkoordinaten

1

2

3

4

5

0

i

2i

3i

4i

-i

-2i

-3i

-4i

-1

-2

-3

-4

-5

r
\varphi
r\cos(\varphi)
ir\sin(\varphi)
z = r(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))
\cos(\varphi) + i\sin(\varphi) = e^{i\varphi}
z = re^{i\varphi}
r_1e^{i\varphi_1} \cdot r_2e^{i\varphi_2}
=r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}

Licht als Welle

Newton:

Licht besteht aus Teilchen

Thomas Young:

Zeigte 1803 mit seinem Doppelspaltexperiement, dass Licht interferiert, also eine Welle ist

James Clerk Maxwell:

Beschrieb in den 1860er-Jahren den Elektromagnetismus

⇒ Licht als "Nebenprodukt"

E(r, t) =
\cos(\qquad\qquad\quad\ )
\hat{E}
\omega t - kr + \varphi
\omega = 2\pi f
k = \frac{\omega}{c}
E(r, t) = \Re(\hat{E}e^{i(\omega t-kr+\varphi)})
E(r, t) = \Re(\hat{E}e^{i\varphi}e^{i(\omega t-kr)})
\Psi(r, t) = \hat{\Psi}e^{i(\omega t-kr)}
\Psi(r, t) = \hat{\Psi} e^{i(\omega t-kr)}

Phasor

phase vector

Demo

Eine einfache Punktquelle

\Psi(x, t) = \hat{\Psi}(r)e^{i(\omega t -kx)}
\hat{\Psi}(r) = \frac{1}{r}
I \sim A^2
= |\Psi(r, t)|^2

Demo

Zwei Quellen

Der Doppelspalt

\Psi_1(r, t)
\Psi_2(r, t)

Superposition:

\Psi(r, t) = \Psi_1(r, t) + \Psi_2(r, t)

1

2

3

4

5

0

i

2i

3i

4i

-i

-2i

-3i

-4i

-1

-2

-3

-4

-5

I \nsim |\Psi_1(r, t)|^2 + |\Psi_2(r,t)|^2
I\sim |\Psi_1(r, t) + \Psi_2(r, t)|^2

Demo

Der Photoeffekt

Die Welle wird problematisch

Wichtige Erkenntnisse:

Die Spannung U und damit die Energie der herausgelösten Elektronen hängt von der Frequenz, nicht aber von der Intensität des Lichtes ab

Problem:

E \sim I

Erklärung:

Licht besteht aus Teilchen, den Photonen, deren Energie nur von ihrer Frequenz abhängt

Eine höhere Intensität entspricht einfach mehr Photonen

Photoeffekt

🗲

Doppelspalt

Können zwei Photonen interferieren?

\gamma_{\varphi = 0}
\gamma_{\varphi = \pi}

Destruktive Interferenz

Wir würden Energie vernichten!

\gamma_{\varphi = 0}
\gamma_{\varphi = 0}

Konstruktive Interferenz

Die Amplitude verdoppelt sich

4 \cdot \gamma

Die Intensität vervierfacht sich

Wir würden Energie erschaffen!

Was passiert, wenn wir einzelne Teilchen durch den Doppelspalt schicken?

(Photonen,

Elektronen,

usw.)

Ein neuer Typ Welle

Die Wahrscheinlichkeitswelle

Wenn sich ein Photon durch den Doppelspalt bewegt, wird es bis zum Punkt einer Messung durch eine quantenmechanische Wellenfunktion beschrieben

\Psi(r, t)
|\Psi(r, t)|^2 = P(r, t)

Die Werte der Wellenfunktion sind sog. Wahrscheinlichkeitsamplituden

1

2

3

4

5

0

i

2i

3i

4i

-i

-2i

-3i

-4i

-1

-2

-3

-4

-5

Solange das Photon sich durch den Apparat bewegt, verhält es sich wie eine Welle und kann mit sich selbst interferieren.

Sobald es auf den Schirm trifft, wird eine Messung gemacht und die Wellenfunktion kollabiert. Wir messen das Photon zufällig entsprechend der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Jedenfalls bin ich überzeugt, dass [Gott] nicht würfelt.

- A. Einstein

Schrödingers Katze

Fassen wir zusammen:

Ein quantenmechanisches System lässt sich durch eine Wellenfunktion beschreiben

Die Werte der Wellenfunktion sind komplexe Wahrscheinlichkeitsamplituden​

Die Wellenfunktion ist zu Superposition und Interferenz fähig

Kollabiert die Wellenfunktion durch eine Messung "entscheidet" sich das Universum gemäß einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei

P = |\Psi(x, t)|^2

Quellen

Wellenfunktionen und Interferenz in einer quantenmechanischen Welt

By Moritz F. Kuntze

Wellenfunktionen und Interferenz in einer quantenmechanischen Welt

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