数独（Sudoku）

• アメリカ人建築家ハワード・ガーンスが匿名で考案
• 1979年にニューヨークの出版社デル・マガジン社から初めて出版
  • 「Number Place」という名称
• 2003年、ニュージーランド人ウェイン・グールドが問題生成プログラムを開発
  • 開発期間：6年
  • イギリスの新聞・タイムズに売り込み
  • 2004年から Su Doku の名で連載を開始
  • ワールドワイド（含む日本）にブーム化
• 「数独」は登録商標＠日本のみ

数独のルール

3x3のブロックを3x3に並べた盤面のセルに

1～9の数字を重ならないように入れる

数独 特徴

• 数字には意味は無い。アルファベットや図形でも可
• 制約充足問題 に分類される
• 解はユニークであること
• 1～9の順列：9! = 362,880。
• ９行：362,880^9 = 1.09*10^50
• 解になっているものは上記よりはるかに少ない
• 問題は解の一部分のみを表示したもの
  • 同じ解でも、多数の問題が存在しうる
• 上下左右反転・回転対称・数字置換問題も存在

Solver

• ソルバーとは問題を解くプログラムのこと
• 方式：
  • バックトラッキングで一気に解く
  • ヒューリスティックな解法を順次適用
• 場合の数が多いので、バックトラッキングでは時間がかかり過ぎて実用的でない
  • と思っていたのだけど、試してみたら世界一難しい問題でも１秒もかからなかった

データ構造：

• int8    cell[81]; で事足り
• 数字をビットマップにすると、重なり判定が楽になる
  • b8 b7 b6 ... b0：値 num → 1<<(num-1) とする
  • 行・列・ブロックのビットの総論理和の反転：
    • → 配置可能な数値のビット

バックトラッキング アルゴリズム：

※ 上記アルゴリズムは解があれば、それを発見できる。

が、解がユニークかどうかは判定できない

ヒューリスティックな解法

• テクニック：
  • Hull House, Hidden Single, Naked Single, Locked Candidates, X-Wing, Pair, ...
• ヒューリスティックな解法は人間には実行可能だが、プログラミングするコストが高い
• 高速化するにはビット演算が効果的
• Hidden/Naked Single だけでかなりの問題が解ける

問題生成

• パズルルールは法律で保護されていない
• パズルの問題には著作権が認められている
  • 良質な問題生成プログラムはビジネス的な価値が高い

問題生成アルゴリズム

1. 解生成
2. 数字を間引く
3. 解がユニークに存在するかチェック
   1. バックトラッキングアルゴリズム使用
4. → 問題の出来上がり

難易度調整

• 空欄数で調整
  • 例：入門：40、初級：45、中級：50、上級：55
  • 統計的には妥当
• 人間的な難易度感覚とは異なる問題が生成されてしまう
  • 空欄数が少なくても、ヒューリスティックに解けないと難しい問題と感じてしまう
• ヒューリスティックに解けるかどうかも考慮
  • 入門・初級問題は基本テクニックだけで解けるもの
  • 中級は実装済ヒューリスティックな解法で解けるもの
  • 上級は実装済ヒューリスティックな解法で解けないもの
• 概ね人間的な難易度感覚と一致

まとめ・今後の課題

• cocos2d-x/C++ により数独アプリを実装・リリースした
  • さくさく数独 for Windows
  • SakuSaku Sudoku for Android
• 問題自動生成により、入門～上級の千問の事前生成された問題・リアルタイム生成問題を用意
• C++/ビット演算により高速な処理を実現
• ヒューリスティックな解法実装は工数が多く、未実装なものが多い
  • そのうち全部実装したい
• 16x16 や、その他のバリエーションも実装してみたい