Avaruusgeometria

Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde

Esimerkki

Lasten palikkasetti koostuu kahdenlaisista kuution muotoisista palikoista. Pienempien palikoiden korkeus on 5,0 cm. Suurempien palikoiden tilavuus on kaksinkertainen pienempiin palikkoihin verrattuna. Kuinka korkeita suuremmat palikat ovat?

Ratkaisu:

Olkoon pienemmän kuution tilavuus 𝑉. Tällöin suuremman palikan tilavuus on 2𝑉.

k^3=\frac{2V}{V}
k^3=2
k=\sqrt[3]{2}

Toisaalta mittakaava on korkeuksien suhde.

\frac{h}{5{,}0}=\sqrt[3]{2}
\begin{aligned}h&=5{,}0\cdot\sqrt[3]{2}\\&\approx6{,}3 \text{ (cm)}\end{aligned}

Tilavuuksia ja pinta-aloja

Pituuspiirit ja leveyspiirit

Esimerkki

Esimerkiksi Kuopio sijaitsee leveyspiirillä 62,89ºN, missä N merkitsee pohjoista leveyttä ja pituuspiirillä 27,69ºE, missä E merkitsee itäistä pituutta.

Kuinka pitkä matka päiväntasaajalle? Kuinka pitkä tunneli rakennettaisiin Kuopiosta päiväntasaajalle?

Kuopion etäisyys päiväntasaajasta

Kuopion ja päiväntasaajan välisen tunnelin pituus

Nyt tunnelin pituus saadaan, kun kerrotaan suorakulmaisen kolmion kanta kahdella.

2\cdot3338{,}75...=6677{,}50...

Vastaus:Tunnelin pituus on 6700 km.

Tehtäviä

(A) Puolipallon sisällä on kuutio siten, että sen yksi sivutahko on puolipallon pohjatasolla ja vastakkaisen sivutahkon kärkipisteet ovat pallopinnalla. Kuinka monta prosenttia kuution tilavuus on puolipallon tilavuudesta? (K2010/4)

a^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2=r^2
a^2+\frac{2}{4}a^2=r^2
\frac{3}{2}a^2=r^2
r=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}a

Tarkastellaan tilannetta ylhäältäpäin.

Pituus ei voi olla negatiivista, joten hylätään negatiivinen ratkaisu.

Puolipallon tilavuus saadaan laskettua, kun pallon tilavuus jaetaan kahdella. Muodostetaan myös kuution tilavuus.

V_p=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}
r=\sqrt{\frac{3}{2}}a
=\frac{2}{3}\pi\cdot\left(\sqrt{\frac{3}{2}a}\right)^3
=\frac{2}{3}\pi\cdot \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}a^3
=\sqrt{\frac{3}{2}}\pi a^3
V_k=a^3
\frac{V_k}{V_p}=\frac{a^3}{\sqrt{\frac{3}{2}}\pi a^3}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\pi}=0{,}259...

Vastaus: Kuution tilavuus on siis 26 % puolipallon tilavuudesta.

Avaruusgeometria

By Opetus.tv

Avaruusgeometria

  • 308
Loading comments...

More from Opetus.tv