Opetus.tv PRO
Opetus.tv
Esimerkki
Määritä funktion suurin ja pienin arvo välillä [-3, 1], kun funktio on
f(x)=2x^2+2x-12
Ratkaisu
Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa joko
- välin päätepisteissä
- derivaatan nollakohdissa
Tapa 1
Ratkaisu
1. Derivoidaan funktio ja ratkaistaan derivaatan nollakohta.
f(x)=2x^2+2x-12
f'(x)=4x+2
f'(x)=0
4x+2=0
x=-\dfrac{1}{2}
2. Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa.
f\Big(\color{Salmon}{ -\dfrac{1}{2}}\Big)=2 \cdot \Big(\color{Salmon}{ -\dfrac{1}{2}}\Big)^2+2 \cdot \Big( \color{Salmon}{ -\dfrac{1}{2}}\Big)-12
=\dfrac{1}{2}-1-12=-12,5
f(\color{Salmon}{ -3})=2 \cdot(\color{Salmon}{ -3})^2+2 \cdot \color{Salmon}{ -3}) - 12
=18-6-12 =0
f(\color{Salmon}{ 1})=2 \cdot\color{Salmon}{ 1}^2+2 \cdot \color{Salmon}{ 1} - 12 =-8
suurin
pienin
Ratkaisu
Tehdään funktiolle kulkukaavio, jonka avulla selvitetään funktion ääriarvokohdat.
Tapa 2
1. Derivoidaan funktio ja ratkaistaan derivaatan nollakohta.
f(x)=2x^2+2x-12
f'(x)=\color{CornflowerBlue}4x+2
f'(x)=0
4x+2=0
x=-\dfrac{1}{2}
Ratkaisu
2. Derivaattafunktion merkkikaavio ja funktion kulkukaavio.
f'
+
-
-
+
f'
f
-3
1
-0,5
max
min
max
Ratkaisu
3. Lasketaan funktion arvot
f\Big(\color{Salmon}{ -\dfrac{1}{2}}\Big)=2 \cdot \Big(\color{Salmon}{ -\dfrac{1}{2}}\Big)^2+2 \cdot \Big( \color{Salmon}{ -\dfrac{1}{2}}\Big)-12
=\dfrac{1}{2}-1-12=-12,5
f(\color{Salmon}{ -3})=2 \cdot(\color{Salmon}{ -3})^2+2 \cdot \color{Salmon}{ -3}) - 12
=18-6-12 =0
f(\color{Salmon}{ 1})=2 \cdot\color{Salmon}{ 1}^2+2 \cdot \color{Salmon}{ 1} - 12 =-8
suurin
pienin
MAB4: Suurin ja pienin arvo
By Opetus.tv
