Opetus.tv PRO
Opetus.tv
VAIHTOEHTOJEN LUKUMÄÄRIÄ
Kombinatoriikka
Esimerkki 1
Arttu, Bertta, Cecilia, Dino ja Elli juoksevat kilpaa.
a) Kuinka monella tavalla kärkikolmikko voi muodostua?
b) Kuinka monella tavalla mitalit voidaan jakaa osallistujille?
| Kärki-kolmikko | Kulta | Hopea | Pronssi |
|---|---|---|---|
| ABC | A | B | C |
| A | C | B | |
| B | A | C | |
| B | C | A | |
| C | A | B | |
| C | B | A |
Kärkikolmikko voidaan siis valita 10 eri tavalla.
Ratkaisu
a) Luetteloidaan kaikki mahdollisuudet kärkikolmikolle:
| ABC | ABE | ACE | BCD | BDE |
| ABD | ACD | ADE | BCE | CDE |
b) Tutkitaan, kuinka monella tavalla mitalit voidaan jakaa kärkikolmikolle:
Jokaiselle mahdolliselle kärkikolmikolle voidaan siis jakaa mitalit 6 eri tavalla. Koska kärkikolmikkoja on 10, voidaan mitalit jakaa 60 eri tavalla Artun, Bertan, Cecilian, Dinon ja Ellin kesken.
Joukko
Tarkasteltava joukko alkioita.
Esimerkissä 1 tarkasteltava joukko oli Arttu, Bertta, Cecilia, Dino ja Elli eli ABCDE.
Osajoukko
A
B
C
D
E
Tarkasteltavan joukon osa, jossa alkioiden järjestyksellä ei ole merkitystä.
Esimerkissä 1a tarkasteltiin niitä juoksijoita, jotka sijoittuvat kolmen parhaan joukkoon, mutta näiden kolmen parhaan juoksijan keskinäisillä sijoituksilla ei ollut merkitystä. Näin ollen osajoukkona oli kärkikolmikkoon sijoittuneet juoksijat.
Jono
Joukko, jossa alkioiden järjestyksellä on merkitystä.
Esimerkissä 1b tarkasteltiin, kuinka monella tavalla kärkikolmikon juoksijat pystytään laittamaan järjestykseen eli valittiin kolmen hengen järjestetty joukko.
Esimerkki 2
Ravintolassa käy 20 asiakasta, joista
- 17 söi pääruuan,
- 16 söi jälkiruuan,
- 15 söi pääruuan ja jälkiruuan
Kuinka moni söi pelkän jälkiruuan?
Kuinka moni söi pelkän pääruuan?
Ratkaisu
Piirretään Venn-diagrammi tilanteesta:
Jälkiruoka
16
Pääruoka
17
Jälkiruoka ja pääruoka
15
Pelkkä jälkiruoka: 16-15=1
Pelkkä pääruoka: 17-15=2
Esimerkki 3
Eräässä 100 opiskelijan otoksessa 75:llä opiskelijalla on Spotify-tunnukset, 45 opiskelijalla Netflix-tunnukset ja 35 opiskelijalla molemmat.
a) Kuinka monella opiskelijalla on joko Spotify- tai Netflix-tunnukset tai molemmat?
b) Kuinka monella opiskelijalla ei ole Spotify- tai Netflix-tunnuksia?
Ratkaisu
Piirretään Venn-diagrammi tilanteesta:
Spotify
75
Netflix
45
Spotify ja Netflix
35
a) Henkilöitä, joilla on pelkästään Spotify-tunnukset, on 75 - 35 = 40 kappaletta.
Henkilöitä, joilla on pelkästään Netflix-tunnukset, on 45 - 35 = 10 kappaletta.
Opiskelijoita, joilla on jommat kummat tai molemmat tunnukset, on siis yhteensä 40 + 10 + 35 = 85 kappaletta.
b) Henkilöitä, joilla ei ole kumpiakaan tunnuksia, on 100 - 85 = 15 kappaletta.
Vastaus:
a) 85 kpl
b) 15 kpl
Esimerkki 4
Ravintola tarjoaa joka päivä vaihtuvan menun, josta asiakas voi koostaa itselleen kolmen ruokalajin aterian. Alkupalan sai valita neljästä, pääruuan kahdesta ja jälkiruuan kolmesta eri vaihtoehdosta.
Kuinka monella tavalla ruokailija pystyi koostamaan kolmen ruokalajin ateriansa?
Ratkaisu
Piirretään kaavio ruokailijan vaihtoehdoista:
Ensimmäinen valinta voidaan tehdä neljällä tavalla, toinen kahdella tavalla ja kolmas kolmella tavalla.
4\cdot 2\cdot 3=24
Ateria voidaan siis koostaa
tavalla.
Tuloperiaate
Kun tehdään useita peräkkäisiä valintoja, vaihtoehtojen kokonaismäärä saadaan kertomalla eri valintavaiheissa olevien vaihtoehtojen lukumäärät keskenään.
Esimerkki 5
Arttu, Bertta, Cecilia, Dino ja Elli juoksevat kilpaa.
a) Kuinka monella eri tavalla juoksijat voivat sijoittua juoksukilpailussa?
b) Kuinka monella tavalla kolme ensimmäistä juoksijaa voivat sijoittua?
Ratkaisu
a) Ensimmäiseksi voi tulla kuka tahansa viidestä juoksijasta. Toiseksi voi sijoittua kuka tahansa neljästä jäljellä olevasta juoksijasta. Kolmanneksi voi jälleen sijoittua kuka tahansa jäljellä olevista juoksijoista jne. Näin ollen juoksijat voivat sijoittua
5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120
eri tavalla.
b) Tilanne vastaa Esimerkin 1b tilannetta. Tuloperiaatteen avulla saadaan laskettua kaikki mahdolliset mitalistiyhdistelmät. Ensimmäiseksi voi sijoittua kuka tahansa viidestä, toiseksi kuka tahansa neljästä ja kolmanneksi kuka tahansa kolmesta juoksijasta:
5\cdot 4\cdot 3=60
Kertoma
Esimerkissä 5a laskettua kertolaskua voidaan merkitä lyhyesti kertoman avulla
5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5!
Sanotaan "luvun 5 kertoma"
Saat laskettua laskimella !-näppäimen avulla:
esim. 5!
n!=n\cdot (n-1)\cdot ...\ \cdot 2\cdot 1,\text{ kun }n\geq 1
Permutaatio
Kun joukossa on n alkiota, ne voidaan asettaa n! erilaiseen jonoon eli permutaatioon.
Variaatio
Kun joukosta muodostetaan jono eli osajoukko, jossa järjestyksellä on merkitystä, kutsutaan jonoa variaatioksi. Esimerkissä 5b on kyse variaatiosta.
Saat laskettua laskimella nPr-näppäimen avulla:
esim. 5 nPr 3
Esimerkki 6
Arttu, Bertta, Cecilia, Dino ja Elli juoksevat kilpaa. Kuinka monta erilaista kärkikolmikkoa voidaan saada?
Kombinaatio
Joukosta, jossa on n alkiota, voidaan valita k alkiota sisältävä osajoukko eli k-kombinaatio
\binom{n}{k}
eri tavalla.
Sanotaan "n yli k"
Saat laskettua laskimella nCr-näppäimen avulla:
esim. 5 nCr 3
\binom{5}{3}=10
Ratkaisu
Vaihtoehtoja on yhteensä 5 kappaletta eli n = 5. Osajoukkoon halutaan valita kolme alkiota, joten k = 3:
Tilanne vastaa Esimerkin 1a tilannetta.
Kombinaatio vs. Variaatio
Järjestyksellä on väliä!
- ”Kuinka monta erilaista jonoa?”
- Kuinka monta erilaista kolmen henkilön jonoa voidaan valita viiden henkilön ryhmästä?
Järjestyksellä EI väliä!
- ”Kuinka monta erilaista ryhmää?”
- Kuinka monta erilaista kolmen henkilön ryhmää voidan valita viiden henkilön ryhmästä?
- ”5 nCr 3” = 10
5\cdot 4\cdot 3=60
tai
”5 nPr 3”=60
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\cdot (5-3)!}=10
MAA10/4: Kombinatoriikka
By Opetus.tv
