JOHDATUS TODENNÄKÖISYYS-LASKENTAAN

MAB5: Tilastot ja todennäköisyys 1/5

Todennäköisyyslaskenta

  • Todennäköisyyslaskennassa tarkastellaan tapahtumia (ilmiöitä), joiden lopputuloksen määrää sattuma. Tällaisia ilmiöitä kutsutaan satunnaisilmiöiksi
  • Kaikki sellaiset tapahtumat, joiden lopputulos ei ole varmasti ennustettavista voidaan mallintaa satunnaisilmiköiksi.
  • Tällä kurssilla tarkastelemme pääasiassa satunnaisilmiöitä.

Odotusarvo

Odotusarvo kertoo odotettavissa olevien tapahtumien määrän, kun tapahtuma toistuu n kertaa. Olkoon tapahtuman A todennäköisyys p. Tällöin

\text{odotusarvo}=n\cdot p.
  • Voidaan hyödyntää ennustuksia tehdessä.

Esimerkki 1

Laatikossa A on 60 hedelmää, joista 15 on pilaantuneita.
Laatikossa B on 80 hedelmää, joista 18 on pilaantuneita.
Jos joutuisit nostamaan toisesta laatikosta umpimähkään hedelmän, niin kummasta sen ottaisit? Perustele.

Ruskea hevonen on juossut 28 kilpailua, joista se on voittanut 13.
Valkoinen hevonen on juossut 36 kilpailua, joista se on voittanut 16.
Kumman hevosen puolesta löisit vetoa? Perustele.

Ratkaisu

Laatikko A: Hedelmistä on pilalla

Laatikko B: Hedelmistä on pilalla

\frac{15}{60}=\frac{1}{4}
\frac{18}{80}=\frac{9}{40}
\frac{9}{40}<\frac{10}{40}=\frac{1}{4}

Koska laatikon B hedelmistä on pienempi osuus pilalla, kannattaa hedelmä valita laatikosta B.

Esimerkki 2

Ratkaisu

\frac{13}{28}\approx 0,\!464=46,\!5\ \%

Ruskea hevonen on voittanut lähdöistään

ja valkoinen

\frac{16}{36}\approx 0,\!444=44,\!4\ \%

Kannattaa siis lyödä vetoa ruskean hevosen puolesta.

Esimerkki 3

Laivanupotusta pelataan 10 x 10 ruudukolla. Millä todennäköisyydellä pelaaja osuu laivaan ensimmäisellä arvauksella?

Ratkaisu:

Koko ruudukossa on ruutuja yhteensä

10\cdot10=100.

Harmaita ruutuja on yhteensä

4+2+3+2+3+2+4=20.

Todennäköisyys, että pelaaja osuu harmaaseen ruutuun ensimmäisellä arvauksella on

\frac{20}{100}=\frac{1}{5}=0{,}2.

Vastaus: Todennäköisyys, että pelaaja osuu laivaan ensimmäisellä arvauksella on 0,2.

Klassinen todennäköisyys

\text{P(tapahtuma)}=\frac{\text{suotuisten alkeistapausten määrä}}{\text{kaikkien alkeistapausten määrä}}

Esimerkissä 1 havainnollistettiin klassista todennäköisyyttä, kun laskettiin todennäköisyys saada pilalla oleva hedelmä jakamalla pilaantuneiden hedelmien lukumäärä kaikkien hedelmien lukumäärällä.

Tilastollinen todennäköisyys

\text{P(tapahtuma)}=\frac{\text{tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärä}}{\text{kaikkien havaintojen lukumäärä}}

Esimerkissä 2 havainnollistettiin tilastollista todennäköisyyttä, kun laskettiin todennäköisyydet kummankin hevosen voitolle ottamalla huomioon voitettujen lähtöjen lukumäärät. Jos ruskean ja valkoisen hevosen hevosen voitoille olisi laskettu klassinen todennäköisyys, olisivat todennäköisyydet olleet samat, koska todennäköisyys olisi laskettu lähdön hevosten yhteismäärästä.

Geometrinen todennäköisyys

\text{P(tapahtuma)}=\frac{\text{tapahtuman toteuttava pinta-ala}}{\text{koko pinta-ala}}

Esimerkissä 3 havainnollistettiin geometrista todennäköisyyttä, kun laskettiin todennäköisyyttä osua ensimmäisellä arvauksella laivaan.

Komplementtisääntö

\text{P(A)}=1-P(\bar{A})
A=\text{tapahtuma}
\bar{A}=\text{A:n vastatapahtuma}

Esimerkki 3

Markkinoilla mainostetaan arpoja "joka kolmas arpa voittaa". Millä todennäköisyydellä ostat arvan, joka ei voita?

Ratkaisu

P(arpa ei voita) = 1 - P(arpa voittaa)

Todennäköisyys, että ostamasi arpa voittaa on

\text{P(arpa voittaa)}=\frac{1}{3}
=1-\frac{1}{3}
=\frac{2}{3}

Vastaus: Todennäköisyys, että ostat arvan, joka ei voita on 2/3

\text{P(A)}+P(\bar{A})=1

Todennäköisyys voidaan ilmoittaa desimaalilukuna, murtolukuna tai prosenttilukuna.

Mahdoton ja varma tapahtuma

Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on 0 = 0 %.

Varman tapahtuman todennäköisyys on 1 = 100 %.

Tapahtuman todennäköisyys on vähintään 0 ja korkeintaan 1 eli

0\leq\text{P(tapahtuma)}\leq 1

Joka viides ässäarpa voittaa. Marko ostaa viisi arpaa. Mikä on todennäköisyys, että ainakin yhdessä arvassa on voitto?

Esimerkki 4

Ratkaisu

Tapauksen ”Ainakin yksi arpa voittaa” komplementti on ”Yksikään arpa ei voita”.

Lasketaan aluksi todennäköisyys tapahtumalle
A = ”yksikään arpa ei voita”

P(A)=\frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}=0,\!32768
\text{P(ainakin yksi arpa voittaa)}=1-\text{P(yksikään arpa ei voita)}
=1-0,\!32768
\approx 0,\!67

Vastaus: Todennäköisyydellä 67% ainakin yksi arpa voittaa.

MAB5: Tilastot ja todennäköisyys 2/3

By Opetus.tv

MAB5: Tilastot ja todennäköisyys 2/3

  • 444
Loading comments...

More from Opetus.tv