Opetus.tv PRO
Opetus.tv
MAA5: Analyyttinen geometria 3/5
SUORA
SUORAN SUUNTA
SUORAN YHTÄLÖ
SUORIEN LEIKKAUSPISTE
SUORIEN VÄLINEN KULMA
SUORIEN KOHTISUORUUS
Suoran suunta
Kulmakerroin
(x_1,y_1)
(x_2,y_2),
x_1\neq x_2,
k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
Pisteiden
ja
kautta kulkevan suoran kulmakerroin on
\Delta x
\Delta y
HUOM! Pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa.
Suoran suuntavektori
Määritä kullekin suoralle jokin suuntavektori.
Suuntakulma
Tason suoran suuntakulma on suoran ja x-akselin positiivisen suunnan välinen kulma, jonka etumerkki määritetään seuraavasti:
Nouseva suora
Laskeva suora
Vaakasuora
Pystysuora
0^{o} <\alpha <90^{o}
-90^{o} <\alpha <0^{o}
\alpha=0^o
\alpha=90^o
Lause
Suoran kulmakerroin k on suuntakulman tangentti eli
\alpha
k=\tan \alpha,\text{ kun }-90^o<\alpha <90^o.
Lause
Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos ja vain jos
- niillä on sama kulmakerroin
- molemmat suorat ovat y-akselin suuntaisia.
Suoran yhtälö
Lause
Jos suora kulkee pisteen kautta ja sen kulmakerroin on k, suoran yhtälö on
(x_0,y_0)
y-y_0=k(x-x_0)
Suoran yhtälön ratkaistu muoto
y=kx+b
Suoran yhtälön normaalimuoto
ax+by+c=0, a\neq 0, b\neq 0
Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, b)
y=\frac{1}{4}x+2
4y-x-8=0
Harjoittele suoran yhtälön määrittämistä kulmakertoimen ja vakiotermin avulla:
Määritä suoran yhtälö kahden pisteen avulla. Tarkista ratkaisusi syöttämällä suoran yhtälö vastauskenttään. Saat malliratkaisun näkyville klikkaamalla Ratkaisu-painiketta.
Suorien leikkauspiste
- Suorien leikkauspisteellä tarkoitetaan sitä pistettä, jossa suorat leikkaavat. Kyseisessä pisteessä molempien suorien x- ja y-koordinaatit ovat samat.
- Suorien leikkauspiste voidaan ratkaista
- graafisesti eli piirtämällä
-
algebrallisesti eli laskemalla.
- Kuvasta katsomalla ei saada selville leikkauspisteen tarkkoja koordinaatteja, joten leikkauspiste täytyy selvittää laskemalla!
- Leikkauspisteen koordinaatit saadaan selville yhtälöparin avulla
Yhtälöparin ratkaiseminen
- sijoitusmenetelmä
- yhteenlasku- eli eliminointimenetelmä
-
CAS-laskenta
- GeoGebra: Ratkaise(<Yhtälölista>,<muuttujalista>)
Suorien välinen kulma
Lause
Jos suorat m ja n eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden välinen kulma toteuttaa yhtälön
\alpha
m:y=k_1x+b_1
n:y=k_2x+b_2
\tan\alpha=|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|
Suorien kohtisuoruus
Lause
Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos ja vain jos niiden kulmakertoimien tulo on -1 tai suorat ovat koordinaattiakselien suuntaiset.
k_1\cdot k_2=-1
Pisteen etäisyys suorasta
ax+by+c=0
\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Pisteen etäisyys suorasta on
(x_0,y_0)
MAA5 Analyyttinen geometria 3/5
By Opetus.tv
