Opetus.tv PRO
Opetus.tv
Lukusuora
Lukusuora on esimerkki yksiulotteisesta koordinaatistosta.
-4
−4
-\dfrac{1}{2}
−21
\pi
π
Jokaista lukusuoran pistettä vastaa tietty reaaliluku ja jokaista reaalilukua vastaa tietty lukusuoran piste.
Itseisarvo
Luvun itseisarvo on luvun etäisyys luvusta nolla lukusuoralla.
Luvun a itseisarvo merkitään | a |.
4
Luvun -4 itseisarvo on 4 eli
|-4|=4
∣−4∣=4
-4
−4
\pi
π
Luvun itseisarvo on eli
\pi
π
\pi
π
|\pi | = \pi
∣π∣=π
\pi
π
Itseisarvo
Itseisarvo
\text{Jos } a \geq 0, \text{ niin } |a| = a
Jos a≥0, niin ∣a∣=a
\text{Jos } a < 0, \text{ niin } |a| = -a
Jos a<0, niin ∣a∣=−a
Itseisarvo
Esimerkki
|2-\sqrt{2}|
∣2−√2∣
|\sqrt{2}-2|
∣√2−2∣
Määritä
ja
Ratkaisu
2 - \sqrt{2}\geq 0, \text{ joten } |2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}
2−√2≥0, joten ∣2−√2∣=2−√2
\sqrt{2}-2 < 0, \text{ joten } |\sqrt{2}-2|=-(\sqrt{2}-2)
√2−2<0, joten ∣√2−2∣=−(√2−2)
|\sqrt{2}-2|=-\sqrt{2}+2
∣√2−2∣=−√2+2
|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}
∣√2−2∣=2−√2
Itseisarvon ominaisuuksia
|a|=|b|, \text{ jos ja vain jos } a=b \text{ tai } a=-b
∣a∣=∣b∣, jos ja vain jos a=b tai a=−b
|ab|=|a||b|
∣ab∣=∣a∣∣b∣
\Big|\dfrac{a}{b}\Big|=\dfrac{|a|}{|b|}
∣∣∣ba∣∣∣=∣b∣∣a∣
Itseisarvon määritelmästä saadaan seuraavat ominaisuudet.
Itseisarvojen yhtäsuuruus
Tulon ja osamäärän itseisarvo
ja
,b \neq 0
,b≠0
Lukujen etäisyys lukusuoralla
Lukujen a ja b etäisyys on erotuksen a-b itseisarvo | a-b |
Esimerkki
Määritä lukujen etäisyys toisistaan
5-3 \sqrt{3} \text{ ja } \ 2 +2 \sqrt{3}
5−3√3 ja 2+2√3
Ratkaisu
Lukujen etäisyys on erotuksen itseisarvo.
|(5-3 \sqrt{3})\color{Goldenrod}- ( 2 +2 \sqrt{3})|
∣(5−3√3)−(2+2√3)∣
=|5-3 \sqrt{3}\color{Goldenrod}- 2 \color{Goldenrod}-2 \sqrt{3}|
=∣5−3√3−2−2√3∣
=|3-5 \sqrt{3}|
=∣3−5√3∣
<0
<0
\text{Jos } a<0, \text{ niin } |a|=-a
Jos a<0, niin ∣a∣=−a
=\color{Goldenrod}-(3-5 \sqrt{3})
=−(3−5√3)
=\color{Goldenrod}-3\color{Goldenrod}+5 \sqrt{3}
=−3+5√3
Vastaus:
Lukujen välinen etäisyys on
5 \sqrt{3}-3
5√3−3
Esimerkki
Mitkä luvut toteuttavat yhtälön | x-10 | = 5 ?
Ratkaisu
Yhtälön toteuttavat sellaiset luvut, joiden etäisyys luvusta 10 on 5.
Lukusuoralta nähdään, että x on 5 tai 15.
Vastaus:
Ratkaisu
\text{Jos } x \geq 10, \text{ niin}
Jos x≥10, niin
|x-10|=x-10
∣x−10∣=x−10
1.
2.
|x-10|=5
∣x−10∣=5
x-10=5
x−10=5
x=15
x=15
\text{Jos } x < 10, \text{ niin}
Jos x<10, niin
|x-10|=-(x-10)=-x+10
∣x−10∣=−(x−10)=−x+10
1.
2.
|x-10|=5
∣x−10∣=5
-x+10=5
−x+10=5
-x=-5
−x=−5
x=5
x=5
Vastaus:
x=15 \text{ tai } x=5
x=15 tai x=5
MAA4/1: Itseisarvo
By Opetus.tv
