MAB5: Todennäköisyys ja tilastot

Todennäköisyyksien laskusääntöjä

Esimerkki 1

Tärkeänä aamuna olet asettanut kolme herätyskelloa soimaan. Jokainen herätyskello soi todennäköisyydellä 0,75. Millä todennäköisyydellä ainakin yksi kello herättää oikeaan aikaan?

Ratkaisu

Tasan kaksi herätyskelloa soi

Kaikki herätyskellot soivat

Tasan yksi herätyskelloa soi

TAI

TAI

Onko todennäköisempää, että tapahtuu

"A ja B" vai "A tai B"?

Kun useampi alkeistapaus tapahtuu, sanotaan että tapahtumat A ja B tapahtuvat.

Tällöin tapahtumien A ja B todennäköisyydet kerrotaan keskenään.

Jos tapahtuu joko tapahtuma A tai tapahtuma B, pitää huomioida tilanteet "A tapahtuu, mutta B ei tapahdu" ja "B tapahtuu, mutta A ei tapahdu".

Peräkkäisten tapahtumien todennäköisyys

Tällöin tapahtumien "A tapahtuu, mutta B ei tapahdu" ja "B tapahtuu, mutta A ei tapahdu" todennäköisyydet lasketaan yhteen.

\text{P(A ja B)}=P(A)\cdot P(B)
\text{P(A tai B)}=P(\text{A ja ei B})+ P(\text{B ja ei A})

Kaikki kolme herätyskelloa soivat.

JA

JA

0,\!75\cdot0,\!75\cdot0,\!75
=0,\!75^3

P(Ainakin yksi kello herättää)= ?

P(kello herättää) = 0,75

P(kello ei herätä) = 0,25

TAPA 1: Tapaukset käsitellään erikseen

JA

JA

TAI

JA

JA

TAI

JA

JA

Tasan yksi herätyskello soi.

0,\!75\cdot0,\!25\cdot0,\!25
0,\!25\cdot0,\!75\cdot0,\!25
0,\!25\cdot0,\!25\cdot0,\!75
+
+
=3\cdot 0,\!75\cdot0,\!25^2

JA

JA

TAI

JA

JA

TAI

JA

JA

Tasan kaksi herätyskelloa soi.

0,\!75\cdot0,\!75\cdot0,\!25
0,\!75\cdot0,\!25\cdot0,\!75
0,\!25\cdot0,\!75\cdot0,\!75
+
+
=3\cdot0,\!75^2\cdot0,\!25

P(3 kelloa soi TAI 2 kelloa soi TAI

1 kello soi)

0,\!75^3
=
+
3\cdot 0,\!75^2\cdot0,\!25
3\cdot0,\!75\cdot0,\!25^2
+
=0,\!984375

Vastaus: Todennäköisyys, että ainakin yksi kello soi on 0,98

TAPA 2: Vastatapahtuman avulla

Tapahtuman AINAKIN yksi herätyskello soi vastatapahtuma on YKSIKÄÄN herätyskelloista ei soi.

\text{P(ainakin yksi kello soi)}=1-\text{P(yksikään kello ei soi)}
\text{P(yksikään kello ei soi)}=0,\!25\cdot 0,\!25 \cdot 0,\!25
=0,\!25^3
=0,\!015625
\text{P(ainakin yksi kello soi)}=1-0,\!015625
=0,\!984375

Vastaus: Todennäköisyys, että ainakin yksi kello soi on 0,98

  • Jos tapahtumat A ja B ovat riippumattomia toisistaan, tapahtuman "A ja B" todennäköisyys on

Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö

P(\text{A ja B})=P(A)\cdot P(B)

Esimerkki 2: Kertolaskusääntö

Sosiaalisessa mediassa julkaistussa kuvassa esiintyy maisema todennäköisyydellä 0,3. Julkaisuun on lisätty hashtageja todennäköisyydellä 0,4. Millä todennäköisyydellä sattumanvarainen sosiaalisen median julkaisu sisältää maiseman ja hashtageja?

Ratkaisu:

Tutkitaan tapahtumaa, jossa kuvassa esiintyy maisema JA siihen on lisätty hastageja.

\text{P(kuvassa on maisema)}=0,\!3
\text{P(kuvassa on hastageja)}=0,\!4
\text{P(kuvassa on maisema JA hastageja)}=
0,\!3
0,\!4
\cdot
=0,\!12
  • Jos tapahtumat A ja B ovat erillisiä, tapahtuman "A tai B" todennäköisyys on

Erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö

P(\text{A tai B})=P(A)+ P(B)
  • Jos tapahtumat A ja B eivät ole erillisiä, tapahtuman "A tai B" todennäköisyys on

Yleinen yhteenlaskusääntö

P(\text{A ja B})=P(A)+ P(B)-P(\text{A ja B})

Esimerkki 3: Yhteenlaskusääntö

Millä todennäköisyydellä korttipakasta satunnaisesti nostettu kortti on hertta tai ässä?

\text{P(hertta)}=\frac{13}{52}
\text{P(ässä)}=\frac{4}{52}
=\frac{1}{4}
=\frac{1}{13}

Korttipakassa on 52 korttia. Kortit on jaettu neljään eri maahan: hertta, ruutu, risti ja pata. Jokaista maata on siis korttipakassa 13 kappaletta. Numerot 2-10 on merkitty numerolla. Sen lisäksi on neljä kuvakorttia ässä A (arvo 1 tai 14 pelistä riippuen), jätkä J (arvo 11), akka / kuningatar (arvo 12) ja kuningas (arvo 13).

Ratkaisu

\text{P(hertta tai ässä)}=\text{P(hertta)}+\text{P(ässä)}-\text{P(hertta ja ässä)}
=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{13}
=\frac{17}{52}-\frac{1}{52}
=\frac{16}{52}^{(4}=\frac{4}{13}

MAB5: Todennäköisyys ja tilastot

By Opetus.tv

MAB5: Todennäköisyys ja tilastot

  • 642
Loading comments...

More from Opetus.tv