Conceitos

"Divide and Conquer"?

• É um paradigma para resolução de algoritmos que se aproveita da recursão para melhor desempenho;
• Propõe a subdivisão de um problema em problemas menores;
• Seus primeiros exemplos datam do começo do século XIX;
• Divide and Conquer é confundido com "decrease-and-conquer"

Vantagens

• Máquinas multicore tiram bom proveito dessa técnica;
• A simplificação de problemas complexos;
• Fácil implementação;
• Excelente para problemas com restrição de tempo

DesVantagens

• Tamanho da pilha;
• Necessita de memória auxiliar;
• Alta repetição de subproblemas;

Método

if (x é pequeno ou simples) then
    return resolver(x)
else
    decompor x em conjuntos menores x0, x1,..., xn
    for i ← 0 to  n do
        yi ← DivideConquer(xi)
        i  ←  i +1
    combinar  yi’s
    return  y

Aplicações

• Modelagem de problemas;
• Teoria de Jogos;
• Algoritmos Matemáticos;
• Robótica;

Algoritmos assintóticos

• Algoritmos asintóticos são mais eficientes quando utilizamos maiores números;

Quicksort

O que é

• É um algoritmo de ordenação por comparação não estável extremamente eficiente;
• Criado por C.A.R. Hoare em 1960;
• Foi criado por "acidente";
• É uma versão otimizada de uma árvore binária ordenada;
• A cada iteração faz as mesma comparações, mas em ordem diferente.

Como funciona

A escolha do Pivot

• Mediana entre 3 elementos;
• O primeiro/último elemento do array;

Aplicações

• Método de "sort" em Pearl;
• Organização de grandes volumes de informação a partir do índice;

Multiplicação de Karatsuba

O que é?

• É um algoritmo assintótico de multiplicação de números gigantes;
• Foi desenvolvido em 1960 por Anatoly Alexeevitch Karatsuba;
• Existem outros algoritmos do tipo que são mais rápidos, mas Karatsuba é mais usado;

Método

O diferencial

• Karatsuba conseguiu eliminar uma operação com a seguinte equação:

Aplicação

•  Criptografia Bancária

Algoritmo de Strassen

O que é?

• É um algoritmo assintótico de multiplicação de matrizes;
• Embora eficiente, ainda é mais lento que o algoritmo de Coppersmith-Winogard;
• Foi publicado em 1969;
• Seu autor (Volker Strassen) foi o primeiro a perceber que a abordagem usual não era a melhor.

Método

• Como podemos dividir uma matriz em submatrizes, primeiro dividimos cada matriz em 4 matrizes;

Método

• Em seguida estabelecemos a seguinte relação:

O Preço de Strassen

• Existe um preço pela eficiência do algoritmo de Strassen, que é uma redução da estabilidade numérica.

Resultados

Quicksort

Karatsuba

Strassen

Strassen

• Strassen é um algoritmo que trabalha melhor com matrizes esparsas;
• Sua eficiência fica mais evidente quando dimensão
• Um ponto a se considerar é a grande quantidade de zeros que são incluidos no processo de resolução, que por consequência comprometem, em parte o resultado.