Método de Newton

Robson Cruz

Gabriel Ozaki

O que é?

Um método iterativo para aproximação de raízes de uma função com valor real

x:f(x) = 0
x:f(x)=0

Considerações

  • É um método que utiliza iteração;
  • Embora seja eficiente, possui restrições;
  • É utilizado na computação para cálculos de raízes de funções complexas

Método

Fórmula geral

x_{n+1} = {x_n} - {{f(x_n)} \over {f'(x_n)}}
xn+1=xnf(xn)f(xn)
x_n = aprox.\; inicial;
xn=aprox.inicial;
\Bigg\{
{

Descrição

f:[a, b] \rightarrow R
f:[a,b]R
  • Suponha que     é diferenciável no intervalo              com valores reais;
  • Suponha que       é  a nossa aproximação para a raiz atual;
  • A equação da reta tangente no ponto       é a seguinte:
f
f
[a, b]
[a,b]
x_n
xn
x_n
xn
y = f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)+f(x_n)
y=f(xn)(xn+1xn)+f(xn)

Dedução

y = 0;
y=0;
0 = f'(x_n)(x_{x+1}-x_n)+f(x_n);
0=f(xn)(xx+1xn)+f(xn);
-f(x_n) = f'(x_n)(x_{n+1}-x_n);
f(xn)=f(xn)(xn+1xn);
{{-f(x_n)} \over {f'(x_n)}} = (x_{n+1}-x_n);
f(xn)f(xn)=(xn+1xn);
x_{n+1} = x_n - {{f(x_n)} \over {f'(x_n)}}
xn+1=xnf(xn)f(xn)
x_2 = x_1 - {f(x_1) \over f'(x_1)}
x2=x1f(x1)f(x1)
x_3 = x_2 - {f(x_2) \over f'(x_2)}
x3=x2f(x2)f(x2)
x_1 = x_0 - {f(x_0) \over f'(x_0)}
x1=x0f(x0)f(x0)

Assim por diante, convergindo à raiz

Visualização

Restrições

  • Casos em que a derivação é muito complexa;
  • Pontos estacionários;
  • Pontos iniciais ruins;

Exemplos

Exemplo 1

f(x) = x^3-9x+3
f(x)=x39x+3
x_0 = 3
x0=3
x_{n+1} = x_n - {f(x_n) \over f'(x_n)}
xn+1=xnf(xn)f(xn)
x_{1} = 3 - {3 \over 18} \approx 2.8\overline{3}
x1=31832.83
x_{2} = 2.8\overline{3} - {{2.453703 \times 10^{-1}} \over {1.508333 \times 10^{-1}}} \approx 2.817065
x2=2.831.508333×1012.453703×1012.817065
x_{3} = 2.817065 - {{2.245104 \times 10^{-3}} \over {1.480757 \times 10^{-1}}} \approx 2.816914
x3=2.8170651.480757×1012.245104×1032.816914

Exemplo 2

f(x) = x^3-9x+3
f(x)=x39x+3
f'(x_0) \approx 0
f(x0)0
x_0 = 1.8
x0=1.8
x_{1} = 1.8 -{-7.368 \over 0.72} = 12.0333
x1=1.80.727.368=12.0333
x_2 = 12.0333 -{1637.14 \over 425.4033} = 8.1849
x2=12.0333425.40331637.14=8.1849
\vdots
x_9 = 2.816922 -{{1.320906 \times 10^{-4}} \over {1.480516 \times 10^{1}}} = 2.816914
x9=2.8169221.480516×1011.320906×104=2.816914

Tabela de Convergência

Exemplo 3

Cálculo da raiz de um número

x^2 = 612
x2=612
f(x) = x^2 - 612
f(x)=x2612
f'(x) = 2x
f(x)=2x
x_n = 10
xn=10

Resolução Sequencial

Os dígitos corretos foram sublinhados

Aplicações

  • Minimização e maximização de problemas;
  • Recíprocos de números e séries de potências;
  • Resolução de equações trancedentais

Maximização e Minimização de Problemas

  • O método de Newton pode ser usado para encontrar máximos e mínimos, pois a derivada nesses pontos é 0;
  • Assim, podemos aplicar o método de Newton na derivada(já que a mesma é 0)
x_{n+1} = x_n - {f'(x_n) \over f''(x_n) }
xn+1=xnf(xn)f(xn)

Recíprocos de Números e Séries de Potências

f(x) = a - {1 \over x}
f(x)=ax1
x_{n+1} = x_n - {f'(x_n) \over f'(x_n)} = x_n - {{a - {1 \over x_n}} \over {1 \over x_n^2}}
xn+1=xnf(xn)f(xn)=xnxn21axn1
= x_n(2 - ax_n)
=xn(2axn)

Resolução de Equações Trancedentais

g(x) = h(x)
g(x)=h(x)
f(x) = g(x)-h(x)
f(x)=g(x)h(x)

Com g(x) ou h(x) sendo equações trancedentais

Referências

  • http://www.ime.unicamp.br/~marcia/ms211A/aulanewton.pdf
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_method

Fim

Método de Newton

By Robson Cruz

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