Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 19
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Analisar o balanço de energia no MHS.
Analisar o balanço de energia nos movimentos dos sistemas:
Bibliografia
Tipler
Capítulo: 14.
Seções: 14.2 e 14.3
Fonte: Giphy. Prof. Walter Lewin - MIT
- Pêndulo simples;
- Pêndulo físico;
- Pêndulo de torção.
Motivação
O Edifício Comcast na Filadélfia, Pensilvânia, que se ergue acima do horizonte, tem aproximadamente 305 metros de altura. Nessa altura, os andares superiores podem oscilar para frente e para trás devido à atividade sísmica e aos ventos flutuantes.
É mostrado acima um desenho esquemático de um amortecedor de massa de coluna líquida ajustado, instalado na parte superior da Comcast, consistindo em um reservatório de água de 300.000 galões para reduzir as oscilações.
Motivação
Propriedades atômicas são utilizadas para medir o tempo com grande precisão.
Fonte: https://repositorio.unesp.brA molécula de amônia \(\text{NH}_3\) tem uma estrutura piramidal, com três átomos de H na base e um átomo de N no vértice.
Existe uma posição simétrica, N', do átomo de nitrogênio que se encontra à mesma distância do plano H-H-H, mas no lado oposto.
O átomo de N oscila entre estas duas posições de equilíbrio na razão de \(2,387 013 \times 10^{16}\) oscilações por segundo.
O primeiro relógio atômico foi baseado nesse princípio.
Em período de 17 000 000 de anos, pode se desviar de apenas 1 segundo.
Motivação
Plataformas programáveis possuem osciladores de quartzo que definem a frequência de operação dos microcontroladores das placas e por sua vez da frequência do processamento dos dados dos programas.
Fonte: arduino.comNessas placas a frequência de operação está em 16 MHz.
Motivação
Os pêndulos permitem controlar o tempo com uma corda e uma massa, apenas!
Fonte: https://www.youtube.com/embed/JWtsOiVxIIE em t = 2:32 min e pular para t = 5:00 min.Motivação
Pesquisadores de biomecânica usam o modelo de pêndulo para calcular o momento de inércia dos membros inferiores de animais. Essa informação é importante para analisar como um animal caminha.
Fonte: https://youtu.be/nOSTzpA0nGkManter o equilíbrio em robôs requer modelagem numérica.
Pêndulo invertido e automação.
Mas para chegar a esse nível, você precisa começar pelos fundamentos.
Motivação
Ao caminhar avançamos de um comprimento 2L, onde L é o comprimento das nossas pernas.
L
2L
O período do pêndulo simples é:
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
A rapidez ao andar é
v=\frac{2L}{T}
\Rightarrow \quad v=\frac{1}{\pi}\sqrt{Lg}
Para \(L=1\,m\), a rapidez da caminhada é:
v\approx 1,0\text{ m/s}
Motivação
Melhoramos o modelo trocando um fio e uma massa por uma barra com massa.
L
2L
O período físico é:
T = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}
A rapidez ao andar é
v=\frac{2L}{T}
\Rightarrow \quad v=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{Lg}
Para \(L=1\,m\), a rapidez da caminhada é:
v\approx 1,2\text{ m/s}
Motivação
Em um modelo ainda mais elaborado as pernas oscilam como pêndulos físicos invertidos.
Fonte: BalbinotMovimentos como esses são utilizados em algoritmos simplificados para controle, estimação e aprendizado de uma máquina.
As equações estão longe do nível desse curso. Em equações diferenciais e modelagem integrada começarão a aperfeiçoar o modelo.
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
A força elástica é um força conservativa (depende da posição e é central):
F(x) = -kx
O trabalho realizado pela força elástica:
W = \int_{x_i}^{x_f} F(x)dx
\Rightarrow W = \frac{1}{2}kx_i^2-
\frac{1}{2}k^2x_f^2
A variação da energia cinética:
\Delta K=K_f-K_i
\Rightarrow \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2-
\frac{1}{2}mv_i^2
A variação da energia potencial elástica para uma força conservativa:
\Delta U = -W
\Rightarrow \Delta U = \frac{1}{2}kx_f^2-
\frac{1}{2}kx_i^2
funções quadráticas
Note que \(x\) e \(v\) são funções do tempo!
\omega_0^2=\frac{k}{m}
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
Somando as variações da energia cinética e potencial elástica, obtemos a variação da energia mecânica do sistema:
\Delta E = \Delta K +\Delta U
onde definimos \(E =K+U\) como a energia mecânica do sistema. Então:
E = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2
\Delta E =\left( \frac{1}{2}mv_f^2-
\frac{1}{2}mv_i^2\right)+\left( \frac{1}{2}kx_f^2-
\frac{1}{2}kx_i^2\right)
\Delta E =\left( \frac{1}{2}mv_f^2+\frac{1}{2}kx_f^2
\right)-\left( \frac{1}{2}mv_i^2+
\frac{1}{2}kx_i^2\right)
\Delta E =E_f-E_i
Note que as grandezas \(v\) e \(x\) são funções do tempo! Mas a energia mecânica não é!
Fonte: Eric Mazur. Veja código aqui.import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
ke=2.0
mp=2.0
En=10.0
def ve(x):
return (2.0*(En-0.5*ke*x**2)/mp)**0.5
def Up(x):
return 0.5*ke*x**2
def Kc(x):
return 0.5*mp*ve(x)**2
xp = np.linspace(-3,3)
v = ve(xp)
U = Up(xp)
K = Kc(xp)
plt.plot(xp, U, label='Energia potencial')
plt.plot(xp, K, label='Energia cinetica' )
plt.xlim([-5,5])
plt.ylim([-1,12])
plt.legend(loc=2)
plt.title('Conservação da Energia no Pêndulo Simples')
plt.xlabel('Posição [m]')
plt.ylabel('Energia [J]')
plt.grid()Verifique: COLAB Notebooks
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
As funções de movimento e velocidade são funções oscilatórias no tempo:
E =K+U=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
x(t) = A\cos(\omega_0 t + \delta)
v(t) = -\omega_0A\text{sen}(\omega_0 t + \delta)
U = \frac{1}{2}kx^2\,\,=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega_0t+\delta)
As funções energia potencial elástica e cinética são funções oscilatórias no tempo:
K = \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\text{sen}^2(\omega_0t+\delta)
A energia mecânica é constante no tempo.
E =K+U=\frac{1}{2}kA^2
ou
\omega_0^2=\frac{k}{m}
Fonte: Geogebra
A mola oscila na vertical. Vídeo.
Cada imagem registra uma posição e um um instante de tempo. Deslocando as imagens vemos que o movimento é periódico no tempo. A cinemática conta a história do movimento
Para contar estudar o movimento oscilatório nós podemos empregar a dinâmica.
O movimento harmônico simples na vertical
O movimento harmônico simples na vertical
Fonte: PHET
Determine a constante elástica das molas.
Utilize o conceito de período.
Determine os valores das massas desconhecidas.
Verifique que para uma mesma massa, o período independe da amplitude.
Verifique o que ocorre com o período quando a massa varia. e depois quando a mola é trocada.
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
Planilha: LINK.
Fonte: PHET
A força peso tem sempre a orientação vertical para baixo e mesma magnitude.
A força elástica varia em magnitude e sentido.
A aceleração indica o sentido da força resultante.
É necessário desenhar para saber onde a massa vai ser encontrada?
A velocidade indica o sentido do movimento.
\vec F_p
\vec F_e
\vec F_r
\vec v
\vec a
A força resultante varia em magnitude e sentido.
O movimento harmônico simples na vertical
O movimento harmônico simples na vertical
Fonte: PHET
Somente no equilíbrio \(P=F_e\).
A posição de equilíbrio é \(y_0\). A massa vai oscilar em relação a esse ponto.
O efeito da força peso é meramente o de deslocar a posição de equilíbrio para \(y_0\).
E fora do equilíbrio qual é a força resultante sobre a massa?
Sem a massa, a mola ideal na vertical não fica sujeita a forças.
Com a massa e na posição de equilíbrio a deformação da mola é \(y_0\) e o somatório das forças sobre a massa é nula.
y_0
\sum \vec F = \vec 0
\vec F_e + \vec F_p=\vec 0
\vec F_p
\vec F_e
-ky_0+mg=0
+
y_0 =\frac{mg}{k}
ky_0=mg
O movimento harmônico simples na vertical
Fonte: PHET
y_0
\vec F_p
\vec F_e
+
y
y'
\sum \vec F = m \vec a
\vec F_e + \vec F_p=m\vec a
-ky+mg=ma
-ky_0-ky'+mg=ma
-k(y_0+y')+mg=ma
-ky'=ma
De forma geral a deformação da mola será \(y'\) em torno de \(y_0\):
ma = -k y'
m\frac{d^2y'}{dt^2} = -k y'
\Rightarrow \quad \frac{d^2y'}{dt^2} = - \omega_0^2 y'
Cuja solução é a função do MHS:
y'(t) = A \cos(\omega_0 t +\delta)
Fora do equilíbrio a força resultante sobre a massa não é nula:
Quando vale a amplitude?
\Rightarrow \omega_0^2=\frac{k}{m}
\vec F_e
\vec F_p
MHS. Pêndulo Simples.
O pêndulo simples é um dispositivo mecânico que consiste de um fio inextensível e massa desprezível onde uma extremidade é fixa e na outra existe uma massa que pode oscilar segundo um MHS.
FONTE: PHETT ={2\pi}\sqrt{\frac{L}{g}}
\approx \theta < 15^o\approx 0,25 \text{rad}
Para um dado planeta, um pêndulo comprido possui um período maior que um pêndulo curto.
Quando \(g\) aumenta o período diminui e a frequência aumenta, pois \(\omega_0 T = 2\pi\) (constante).
O período não depende da massa do pêndulo simples.
MHS. Pêndulo Simples.
Sobre a massa há apenas duas forças:
Tração \(\vec T\) de direção e magnitudes que variam.
Peso \(\vec P\) de direção e magnitudes que não variam.
A força resultante não é constante.
No referencial adotado as forças peso e tração têm as seguintes componentes:
P_{tan} = P \text{sen}(\theta)
P_{rad} = P \text{cos}(\theta)
No ponto mais baixo da trajetória qual o valor de \(P_{tan}\)?
No ponto mais baixo qual a força resultante?
T_{tan} = 0
T_{rad} = T
A força restauradora é \(P_{\tan}\).
-mg\text{sen}(\theta)=ma_t
A força que muda a direção é \(T-P_{rad}\).
T-mg\cos(\theta)=m\frac{v_t^2}{r}
Fonte: Halliday
MHS. Pêndulo Simples.
A força restauradora sobre o pêndulo simples é a força tangencial (\(P_{tan}\)). Essa força varia com o ângulo \(\theta\). Há um MHS se esse ângulo é pequeno!
FONTE: Sears & ZemanskyO movimento é acelerado e ao longo da força tangencial, a partir da segunda lei de Newton:
F_r = m a_t
-m g \text{ sen }\theta = m a_t
\Rightarrow \quad a_t = - g \text{ sen }\theta
\Rightarrow \quad a_t \approx - g\,\theta
\Rightarrow \quad F_r \approx -\frac{mg}{L}x
Similar à Lei de Hooke!
\text{sen }\theta\approx \theta.
Para pequenos ângulos, temos
E \(x = L\theta \). Daí,
a_t=-g\frac{x}{L}
\frac{d^2x}{dt^2}=-g\frac{x}{L}
\Rightarrow \quad\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2 x
É a EDO que rege o movimento do pêndulo simples.
P_{tan} = m a_t
MHS. Pêndulo Simples.
Tal como o sistema massa-mola, o pêndulo simples é regido por uma EDO, tal que:
FONTE: Wolfgang & Bauer\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2 x
e a solução é uma função periódica no tempo:
x(t) = A\cos(\omega_0 t + \delta)
onde a frequência angular é:
\omega_0 =\sqrt{ \frac{g}{L}} = \frac{inercial}{inelástica}
A frequência e o período:
f =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}
T ={2\pi}\sqrt{\frac{L}{g}}
\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_0 t + \delta)
ou
\equiv\frac{elástica}{inercial}
\text{sen}\theta\approx \theta
\theta \approx 0,26\text{ rad}=15^o
Aproximações válidas para ângulos pequenos.
Para ângulos maiores veja Exemplo 14.9 do Tipler.
x=L\theta
MHS. Pêndulo Simples.
As funções de movimento do pêndulos simples são:
\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_0 t + \delta)
constante de fase
amplitude
frequência angular
\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}}
Função posição angular
Função velocidade angular
Função aceleração angular
\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}=-\omega_0\theta_0\text{sen}(\omega_0t+\delta)
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt}=-\omega_0^2\theta_0\text{cos}(\omega_0t+\delta)
Função velocidade
v(t) = L\omega(t)
Função aceleração
a(t) = L\alpha(t)
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
A energia mecânica do pêndulo simples para qualquer ângulo \(\theta\):
E = K + U
E = \frac{1}{2}mv^2 + mgL[1-\cos(\theta)]
Nos pontos de retorno (\(v = 0\)):
K = 0
U=mgL[1-\cos(\theta_0)]
\Rightarrow E =mgL[1-\cos(\theta_0)]
Fonte: Wolfgang & BauerA energia mecânica é conservada:
E_i = E_f
\Rightarrow \quad mgL[1-\cos(\theta_0)]
=
\frac{1}{2}mv^2 + mgL[1-\cos(\theta)]
\Rightarrow v=\pm \sqrt{
2gL
[
\cos(\theta)-\cos(\theta_0})
]
A velocidade do pêndulo:
Fonte: https://pin.it/2SEybXWQual o tempo para ir de \(v = 0\) a \(v = v_{max}\)?
Por que o vetor aceleração muda de direção?
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
Seja no sistema massa-mola ou nos diversos pêndulos, a força restauradora é responsável pelo MHS. Ela é do tipo: \(F = - c \,x\).
A energia total do sistema (mecânica) é conservada no tempo.
Mas as energias cinética e potencial variam no tempo!
Pêndulos acoplados
A transferência de energia.
Fonte: https://youtu.be/duyzRDq9CG4Vídeo 2: LINK.
Vídeo 3: LINK.
Vídeo 4: LINK.
Questão 1
Você dispõe de um pêndulo que oscila com período T na Terra. Você o leva para a Lua. Qual será o período do pêndulo na Lua em função do seu período na Terra?
Fonte: https://youtu.be/duyzRDq9CG4Questão 2
Um corpo de 3,0 kg, preso a uma mola, oscila com uma amplitude de 4,0 cm e um período de 2,0 s. (a) Qual é a energia total? (b) Qual é a rapidez máxima do corpo? (c) Em qual posição a rapidez do corpo é a metade de seu valor máximo?
Questão 3
Uma trapezista de circo inicia seu movimento partindo do repouso com a corda formando um ângulo de 45 graus com a vertical. A corda em 5,00 m de comprimento. Qual será a velocidade da trapezista no ponto mais baixo da trajetória?
Questão 4
Um bloco de 500 g, preso a uma mola, é puxado por uma distância de 20 cm e liberado. As oscilações subseqüentes são medidas, e delas se obtém um período de 0,80 s. Em que posição ou posições a velocidade do bloco vale 1,0 m/s?
Questão 5
Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k = 1000 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 50,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Determine (a) a frequência do movimento, (b) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude do movimento.
Questão 6
Que animação mostra corretamente a posição como função do tempo?
Caso não tenha ficado claro a explicação tente estudar o simulador aqui embaixo.
Questão 6
Suponha que pudéssemos escavar um túnel retilíneo passando pelo centro da lua, de um lado ao outro. Se, a partir de uma das extremidades deste túnel, soltássemos uma esfera de aço com 5,0 kg de massa a partir do repouso, qual seria seu movimento subsequente?
O fato de que a lua não possui atmosfera e de que ela é de rocha sólida torna o cenário um pouco menos fantástico de que cavar um túnel através do centro da Terra.
Estação russa levou 41 anos para perfurar 12 mil metros do planeta Terra
Demonstração de elevador que atravessaria o núcleo da Terra (Fonte da imagem: Wikimedia Commons)
Questão 5
Uma haste fina oscila sem atrito em relação a uma de suas extremidades. A haste possui massa de 2,50 kg e comprimento de 1,25 m. Através de sua extremidade inferior, a haste é deslocada para a direita de um ângulo de 20,0 graus em relação à vertical. A haste é então liberada a partir do repouso oscilando em um movimento harmônico simples. Qual é o período do movimento? Se toda a massa da haste fosse concentrada em uma esfera a uma distância L do pivô, qual seria o período do movimento?
Questão 6
Na Terra, os garimpeiros procuram um depósito de minério de ferro sob o solo. Eles decidem usar a aceleração da gravidade para descobrir onde o ferro está localizado porque a massa adicional de ferro deve mudar a aceleração da gravidade. Eles usam um pêndulo cuidadosamente feito com um comprimento de 2,00000 metros e medem o período do balanço enquanto caminham pela área onde acham que o depósito está localizado. Para o milionésimo de segundo mais próximo, quanto o período mudará se a aceleração da gravidade entre dois pontos mudar de 9,80000 m/s^2 para 9,80010 m/s^2?
Questão 7
A figura (a) mostra uma barra fina cujo comprimento \(L\) é 12,4 cm e cuja massa m é 135 g, suspensa em fio longo pelo ponto médio. O valor do período do oscilador harmônico angular formado pela barra e o fio é \(T_a\) = 2,53 s. Quando um objeto de forma irregular, que vamos chamar de objeto X, é pendurado no mesmo fio, como na figura (b), e o valor do período aumenta para \(T_b\) = 4,76 s. Qual é o momento de inércia do objeto X em relação ao eixo de suspensão?
Fonte: Halliday & ResnickQuestão 8
Na figura, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 cm e 500 g de massa preso a uma barra homogênea de comprimento L = 500 mm e 270 g de massa. (a) Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão. (b) Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o período das oscilações.
Fonte: Halliday & ResnickQuestão 9
Uma roda de bicicleta pode girar livremente em torno do eixo, que é mantido fixo. Uma mola está presa a um dos raios a uma distância r do eixo, como mostra a figura. (a) Usando como modelo para a roda um anel delgado, de massa m e raio R, qual é a frequência angular ω para pequenas oscilações do sistema em termos de m, R, r e da constante elástica k? Qual é o valor de ω para (b) r = R e (c) r = 0?
Fonte: Halliday & Resnick
MHS. Pêndulo Físico (ou composto).
O pêndulo físico é um dispositivo mecânico que consiste de um corpo com volume finito onde uma extremidade é suspensa por um pivô. Na posição de equilíbrio, o centro de gravidade está diretamente abaixo do pivô.
O pivô pode ser alterado e isso afeta o período de oscilação.
O movimento do centro de gravidade é um arco de circunferência: \(x= L\theta\).
Ao deslocar o centro de gravidade a força peso que atua sobre esse ponto vai exercer um torque em relação ao pivô.
Qual o valor da inércia rotacional de cada barra em relação a um pivô?
FONTE: Halliday & ResnickA força de contato (\(\vec N = normal\)) não realiza torque, pois a linha de ação dessa força passa pelo eixo de rotação.
\vec N
\vec F_p
A força de ação à distância (\(\vec F_p =peso\)) realiza torque, pois a linha de ação dessa força passa pelo centro de gravidade quando a barra está deslocada:
\tau_0 = - (r\text{ sen }\theta) F_p
r_{\bot}
Aplicando a segunda lei de Newton para rotações:
\tau_0 = I_0\alpha
\Rightarrow \quad I_0\alpha = -mgr\text{ sen }\theta
\Rightarrow \quad\frac{d^2\theta}{dt^2} =- \frac{mg\,r}{I_0}\text{ sen }\theta
Para pequenos ângulos (\(\text{sen}\theta\approx \theta\)) observa-se um MHS:
\frac{d^2\theta}{dt^2} =-\omega_0^2\theta
\omega_0^2= \frac{mg\,r}{I_0}
onde
e
\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t + \delta)
MHS. Pêndulo Físico (ou composto).
\tau_0 = -r_{\bot} F_p
A frequência angular e o período de um pêndulo físico são:
\omega_0^2= \frac{mg\,r}{I_0}
O pêndulo físico possui momento de inércia \(I_0\) e cujo centro de massa está a uma distância \(r\) do pivô. Se o pivô atravessa o centro de massa:
T={2\pi}\sqrt{\frac{I_0}{mg\,r}}
Fonte: Bauer & Wolfgangr=\frac{l}{2}
I_{cm}=\frac{1}{12}ml^2
O período fica:
\equiv\frac{elástica}{inercial}
I_{0}=I_{cm}+mr^2
Em relação ao pivô aplicamos o Teorema dos eixos paralelos:
e
\Rightarrow \quad I_{0}=\frac{1}{3}ml^2
\Rightarrow \quad T = 2\pi\sqrt{
\frac{2l}{3g}
}
T = 2\pi\sqrt{
\frac{r}{g}+\frac{I_{cm}}{m g r }
}
MHS. Pêndulo Físico (ou composto).
MHS. Pêndulo de Torção.
Um pêndulo de torção consiste em um objeto suspenso por um fio. Quando o fio é torcido e depois liberado, o objeto descreve um movimento harmônico angular simples.
Fonte: Halliday & ResnickA rotação do disco de um ângulo \(\theta\) em qualquer sentido produz um torque restaurador dado por:
\tau = - \kappa \theta
Aplicando a segunda lei de Newton para rotações:
I_0\alpha = -\kappa \theta
\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{\kappa}{I_0} \theta
\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\omega_0^2 \theta
\omega_0^2=\frac{\kappa}{I_0}
onde
onde \(\kappa\) é a constante de torção que depende do comprimento do fio e do material de que é feito.
MHS. Pêndulo de Torção.
Para pequenos ângulos de torção, o pêndulo de torção executa um MHS com período:
T=2\pi \sqrt{\frac{I_0}{\kappa}}
Medindo-se o período e conhecendo-se a inércia rotacional é possível determinar as propriedades do fio, isto é, do que ele é feito!
Marque a caixa MHS horizontal => Oscilador massa mola na horizontal. A amplitude não muda (distância do ponto A ao P), mas a posição muda (projeção do segmento AP no eixo horizontal). Onde a projeção AP é nula no eixo horizontal? Isso significa que a massa passa pelo ponto de equilíbrio. Onde a projeção é máxima? Isso significa que a massa está nos pontos de máxima compressão.
Marque a caixa MHS vertical => Oscilador massa mola na vertical. A amplitude não muda (distância do ponto A ao P), mas a posição muda (projeção do segmento AP no eixo vertical). Onde a projeção AP é nula no eixo vertical? Isso significa que a massa passa pelo ponto de equilíbrio. Onde a projeção é máxima? Isso significa que a massa está nos pontos de máxima compressão.
O movimento harmônico simples na vertical
História e Ciência
Galileu Galilei nasceu a 15 de Fevereiro de 1564, em Pisa, Itália.
1564 - 1642
Galileu, desenvolveu um método de pesquisa e estudo… ele queria descrever os movimentos na Terra e não somente do Cosmos.
Para Galileu a experimentação é essencial, não somente a lógica. Não é possível argumentar a natureza. É necessário ter uma hipótese e testá-la várias vezes e comprovar que sua hipótese é válida.
Uma vez descoberta ou formulada uma Lei da Natureza é necessário descrevê-la matematicamente.
História e Ciência
Galileu, durante uma missa na Catedral de Pisa (Torre de Pisa….
começou a contar quanto tempo leva para o candelabro completar uma oscilação.
descobriu o período de oscilação do pêndulo não muda por um tempo razoavelmente longo.
Fonte: WikipediaFonte: WikipediaHistória e Ciência
A partir da observação do candelabro da catedral de Pisa ele formula:
A lei do pêndulo.
O período do pêndulo não depende da massa e nem da amplitude, mas somente do comprimento do fio que sustenta a massa (para pequenas amplitudes em torno do ponto de equilíbrio).
Hoje, a expressão em uma linguagem matemática moderna (não geométrica) para a Lei do Pêndulo é:
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
Na Terra, quanto maior o comprimento do fio maior será o tempo para completar um ciclo (ir e voltar) ou mais lento será o movimento.
História e Ciência
Por quê o período do pêndulo depende somente do comprimento do fio e não depende da massa (peso, para Galileu) ?
A ideia da época era que quanto maior o Peso dos objetos menor é o tempo de queda.
Um objeto mais “pesado" cai mais rapidamente (tempo menor) do que um objeto menos “pesado” (Aristóteles).
Mas o “peso” no pêndulo está caindo também. E esse tempo de queda não depende do “peso" no pêndulo (Galileu).
h
O que a natureza está escondendo?
História e Ciência
Por meio da experimentação Galileu e mais provavelmente o seu assistente Vicenzo Viviane (discípulo e 1o. biógrafo de Galileu) fazem o experimento da queda livre dos corpos do alto da Torre de Pisa.
Pensa-se que Viviane foi ao topo da Torre de Pisa e em uma demonstração pública mostrou que largando ao mesmo tempo duas esferas de massas diferentes o tempo de queda é praticamente o mesmo.
A diferença no tempo de queda ao tocar o piso era ínfima e então, a ideia antiga (Aristóteles) deveria ser refutada pela experimentação.
O que a natureza está escondendo?
Qual é a lei de queda dos corpos? Qual o modelo? Quais as suposições a partir das observações experimentais da queda?
Hipótese: A resistência do ar deve atuar sobre os objetos mais leves e por isso levam mais tempo para tocar o chão.
Fonte: Wikipedia/Theresa KnottHistória e Ciência
Galileu se depara com um problema técnico. Não havia naquela época como medir os tempos com a precisão que ele precisava para mostrar que os corpos em queda livre caem ao mesmo tempo se se desconsiderar o atrito.
Problema:
Não há relógios precisos para curtos intervalos de tempo.
Solução:
Desenvolver um relógio que permita medir a passagem do tempo entre duas posições consecutivas.
Reduzir o tempo de queda dos objetos e também reduzir o atrito.
Como:
Desenvolver e aperfeiçoar o plano inclinado.
CLEPSIDRA - Relógio d’água.
Permite adicionar intervalos de tempo
PLANO INCLINADO
Permite reduzir o tempo de queda
História e Ciência
Os experimentos pensados de Galileu com o plano inclinado mostraram que:
Uma partícula que desce de uma altura h ao longo de um plano inclinado de inclinação \(\theta_1\) adquire uma velocidade exatamente suficiente para elevá-la de uma altura h ao longo de outro plano inclinado de inclinação \(\theta_2\) , quaisquer que sejam os ângulos \(\theta_1\) e \(\theta_2\) .
Uma curva pode ser pensada como uma sucessão de planos inclinados infinitésimos, de inclinações variáveis continuamente.
Ele aplicou esses conhecimentos do plano inclinado ao estudo do pêndulo simples.
s=\frac{1}{2}at^2
a=g\text{ sen}\theta
FM - Aula 19
By Ronai Lisboa
FM - Aula 19
Oscilações. Movimento Harmônico Simples (MHS). Pêndulo Simples. Pêndulo Físico. Pêndulo de Torção. A conservação da energia no MHS.
