Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 20
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Explicar o Movimento Harmônico Simples Amortecido.
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Tipler
Capítulo 14
Seção: 14.4
Analisar o balanço de energia no amortecimento subcrítico.
Fonte: Halliday & ResnickFonte: Sears & ZemanskyIdentificar os três regimes de amortecimento:
Crítico
Supercrítico
Subcrítico
Analisar o fator de qualidade do amortecimento subcrítico.
Motivação
Prédios oscilam
Amplitude máxima:
Período do evento:
A=±1 m
A = \pm 1\text{ m}
T=5 min
T = 5\text{ min}
Aqui uma pesquisa que você pode realizar e apresentar ao professor.
Em uma pesquisa deve existir: objetivos, introdução, resultados, análises e conclusões, referências.
Motivação
Fonte: Wolfgang & Bauer
Os armotecedores devem permanecer no regime crítico para desempenho máximo, pois após um forte impacto o móvel retorna rapidamente à posição de equilíbrio sem oscilar.
Depois de muito uso, o efeito do amortecimento enfraquece e os armotecedores fornecem apenas um pequeno amortecimento. O carro sacoleja demais indicando que é hora de trocar os amortecedores.
VEÍCULO EM MAU ESTADO DE CONSERVAÇÃO. Essa é uma prática que compromete a segurança das vias e, por isso, é considerada uma infração grave, segundo o inciso XVIII do artigo de número 230 do CTB. As punições para o condutor que for flagrado conduzindo um veículo em mau estado de conservação são:
-Infração: Grave (5 pontos) e Multa: R$ 195,23.
Tecnologia 1: LINK.
Tecnologia 2: LINK.
Oscilações Harmônicas Amortecidas
Nos osciladores harmônicos (molas e pêndulos):
A força é restauradora (e conservativa):
A energia mecânica total é conservada (Aula 19):
F=−kx
F=-kx
E=21kA2=21mω02A2
E=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
Mas as molas e pêndulos não oscilam indefinidamente: após algum intervalo de tempo, eles atingem o repouso porque existe uma força resistiva cujo efeito é diminuir a velocidade do oscilador.
Fonte: Wikipedia.
Se a amplitude não muda, a energia mecânica não muda!
Não é rigorosamente correto descrever as oscilações livres matematicamente por uma função periódica no tempo com amplitude constante.
O oscilador harmônico livre uma vez colocado em movimento, oscilará eternamente sem nenhuma diminuição da amplitude.
A partir de agora, para melhorar a modelagem de um sistema que oscila como oscilador harmônico, vamos incorporar ao modelo:
As forças viscosas (dissipativas):
São forças de atrito exercidas por fluidos (ar, água, óleo, etc.)...
que são forças não conservativas.
==> A energia mecânica não é conservada no tempo.
==> A amplitude da oscilação diminui com o tempo.
Existem três tipos de amortecimento.
Oscilações Harmônicas Amortecidas
As forças viscosas são opostas à velocidade do corpo que se move num fluido.
Em alguns casos, matematicamente, se escreve como:
Os parâmetros (b,c) dependem da geometria e da rapidez do corpo e também da natureza do fluido.
Fa=−bv−cv2
F_a=-b\,v-cv^2
Fonte: https://youtu.be/XX0JdlXZmWsO sinal negativo indica que a força possui sempre um sentido contrário ao da velocidade.
Para baixas velocidades do oscilador, a força de arrasto tem a forma,
Fa≈−bv
F_a\approx-b\,v
A constante de amortecimento b tem dimensão de massa/tempo.
Oscilações Harmônicas Amortecidas
Você sabe mostrar isto?
Na presença de forças viscosas a energia mecânica não é conservada.
O oscilador harmônico uma vez colocado em movimento deixará de oscilar e vemos isso como uma diminuição da amplitude à medida que o tempo avança.
A diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa é chamada de amortecimento e o movimento correspondente denomina-se oscilação amortecida.
Fonte: Wolfgang & BauerOscilações Harmônicas Amortecidas
Amplitude do oscilador diminui quando está dentro do fluido
Amplitude do oscilador permanece quanto está fora do fluido
Para o oscilador harmônico simples do tipo massa-mola com amortecimento, a equação de movimento supondo que a mola está esticada e acelerando para cima:
∑F=ma
\sum \vec F = m\vec a
Fa+Fe=ma
\vec F_a+\vec F_e = m\vec a
−bv−kx=ma
-bv - kx = ma
ma+bv+kx=0
ma + bv + kx = 0
mdt2d2x+bdtdx+kx=0
m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0
Fonte: Halliday & ResnickOscilações Harmônicas Amortecidas
−Fa+Fe=ma
-F_a+F_e = ma
+x
+x
dt2d2x+γdtdx+ω02x=0
\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = 0
nós obtemos uma EDO de segunda ordem com um termo devido ao arrete, para a função posição:
γ=mb
\gamma = \frac{b}{m}
ω02=mk
\omega_0^2 = \frac{k}{m}
frequência angular natural
fator de amortecimento
Qual é a função que satisfaz a EDO?
A equação de movimento de um sistema massa-mola amortecido é uma EDO,
dt2d2x+γdtdx+ω02x=0
\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = 0
γ=mb=tempo1
\gamma = \frac{b}{m}=\frac{1}{tempo}
ω0=mk=tempo1
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{tempo}
A função deve ter a forma:
x(t)=Aept
x(t)=Ae^{pt}
Oscilações Harmônicas Amortecidas
Devemos substituí-las na EDO:
(p2Aept+γpAept+ω02Aept)=0
(p^2Ae^{pt}+\gamma\, pAe^{pt}+\omega_0^2Ae^{pt})=0
(p2+γp+ω02)Aept=0
(p^2+\gamma\, p+\omega_0^2)Ae^{pt}=0
Devemos testá-la:
1a. derivada:
dtdx=pAept
\frac{dx}{dt}=pAe^{pt}
2a. derivada:
dt2d2x=p2Aept
\frac{d^2x}{dt^2}=p^2Ae^{pt}
Para x(t) não nulo, a igualdade será zero se e somente se:
(p2+γp+ω02)=0
(p^2+\gamma\, p+\omega_0^2)=0
equação do segundo grau em p.
É necessário resolver uma equação do segundo grau na variável p:
As raízes da equação são (Bhaskara):
p2+γp+ω02=0
p^2+\gamma\, p+\omega_0^2=0
p±=−2γ±(2γ)2−ω02
p_{\pm}=-\frac{\gamma}{2}\pm
\sqrt{\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2-\omega_0^2}
⇒p±=−2γ±ω′
\Rightarrow p_{\pm}=-\frac{\gamma}{2}\pm
\omega^{\prime}
ω′=(2γ)2−ω02
\omega^{\prime}
=\sqrt{\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2-\omega_0^2}
onde
Oscilações Harmônicas Amortecidas
Essas frequências angulares são diferentes
Supercrítico:
ω′>0
\omega ' > 0
Raiz positiva =>
2γ>ω0
\frac{\gamma}{2}
>\omega_0
⇒b>bc
\Rightarrow b>b_c
Subcrítico:
ω′<0
\omega ' < 0
Raiz negativa =>
2γ<ω0
\frac{\gamma}{2}
<\omega_0
⇒b<bc
\Rightarrow b< b_c
ω0 - freq. natural
ω0 - freq. natural
ω′ - freq. de amortecimento
γ - fator de amortecimento
ω′=4m21(b2−4mk)
\omega^{\prime}
=\sqrt{\frac{1}{4m^2}(
{b}
^2-4m{k}})
x(t)=A+e+pt+A−e−pt
x(t)=
A_+e^{+pt}+
A_-e^{-pt}
As soluções serão uma combinação linear das raízes:
x(t)=e−γ/2(A+e+ω´t+A−e−ω´t)
x(t)=e^{-\gamma/2}(
A_+e^{+\omega´ t}+
A_-e^{-\omega´ t})
E comportamento de x(t) vai depender da frequência de amortecimento, ω′ ou da relação entre os fatores (γ,ω0).
Crítico:
ω′=0
\omega ' = 0
Raiz nula =>
2γ=ω0
\frac{\gamma}{2}
=\omega_0
b=bc=4mk
b= b_c = \sqrt{4mk}
Não há oscilações nos regimes crítico e supercrítico. O sistema vai mais rapidamente para o equilíbrio no regime crítico que no supercrítico.
O oscilador tem período constante, mas a amplitude da oscilação decai exponencialmente com o tempo (modulada pela envoltória).
Fonte: Prof. Tarciro MendesFonte: Prof. Tarciro MendesPeríodo amortecido
Envoltória
Oscilações Harmônicas Amortecidas
ω′>0
\omega' > 0
ω′=0
\omega' = 0
ω′=i4m21(4mk−b2)
\omega^{\prime}
=i\sqrt{\frac{1}{4m^2}(
4m{k}-{b}
^2})
ω′<0
\omega' < 0
+Ae−(γ/2)t
+Ae^{-(\gamma/2)t}
−Ae−(γ/2)t
-Ae^{-(\gamma/2)t}
⇒b>bc
\Rightarrow b>b_c
⇒bc=4mk
\Rightarrow b_c = \sqrt{4mk}
ω′<0
\omega ' < 0
⇒b<bc
\Rightarrow b< b_c
ω′=4m21(b2−4mk)
\omega^{\prime}
=\sqrt{\frac{1}{4m^2}(
{b}
^2-4m{k}})
⇒b≥bc
\Rightarrow b\geq b_c
⇒b<bc
\Rightarrow b< b_c
Oscilações Amortecidas. Regime crítico.
O fator de amortecimento assume um valor mínimo para impedir a oscilação:
x(t)=e−2γt(A++A−t)
x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2}t}
\left(
A_+
+
A_- \,t
\right)
Mostre que se x(0)=x0 e v(0)=v0, temos:
ω′=(2γ)2−ω02=(2mb)2−mk
\omega^{\prime}
=\sqrt{\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2-\omega_0^2}
=
\sqrt{\left(
\frac{b}{2m}
\right)^2-\frac{k}{m}}
⇒ω′=0
\Rightarrow\omega ' = 0
A+=x0
A_+ =x_0
A−=v0+x02γ
A_- =v_0 +x_0\frac{\gamma}{2}
Simule:
x0=10 cm
v0=0 cm/s
m=1,0 kg
k=4,0 N/m
b=4,0 kg/s
Calcule: bc;γ/2,ω0;A+;A−.
A amplitude decai exponencialmente no tempo e não há oscilação. A função movimento fica:
⇒bc=2mk
\Rightarrow b_c = 2\sqrt{mk}
x(t)=e−2γt(A+e+ω′t+A−te−ω′t)
x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2}t}(A_+ e^{+\omega ' t}+
A_- t\,e^{-\omega ' t})
ATENÇÃO: c≡b;y(0)=x0
Mostre isso. Utilize as condições inicias na função movimento.
Condições iniciais
eω′=0
\text{e}\,\omega ' = 0
Oscilações Amortecidas. Regime supercrítico.
O fator de amortecimento é predominante em comparação à frequência natural:
Mostre que se x(0)=x0 e v(0)=v0, temos:
ω′=(2γ)2−ω02=(2mb)2−mk
\omega^{\prime}
=\sqrt{\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2-\omega_0^2}
=
\sqrt{\left(
\frac{b}{2m}
\right)^2-\frac{k}{m}}
⇒ω′>0
\Rightarrow\omega ' > 0
A+=21x0−2(γ/2)2−ω02x0(γ/2)+v0
A_+ =
\frac{1}{2}x_0
-
\frac{
x_0(\gamma/2)+v_0}{2
\sqrt{(\gamma/2)^2
-
\omega_0^2
}}
A−=21x0+2(γ/2)2−ω02x0(γ/2)+v0
A_- =
\frac{1}{2}x_0
+
\frac{
x_0(\gamma/2)+v_0}{2
\sqrt{(\gamma/2)^2
-
\omega_0^2
}}
Simule:
x0=10 cm
v0=0 cm/s
m=1,0 kg
k=4,0 N/m
b=5,0 kg/s
Calcule: bc;γ/2,ω0;A+;A−.
A amplitude decai exponencialmente no tempo e sem oscilação:
⇒b>bc=2mk
\Rightarrow b>b_c = 2\sqrt{mk}
x(t)=e−2γt(A+e+ω′t+A−e−ω′t)
x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2} t}(A_+ e^{+\omega ' t}+
A_- e^{-\omega ' t})
ATENÇÃO: c≡b;y(0)=x0
Mostre isso. Apresente para mim e ganhe bônus. Desafie-se!
Condições iniciais
Oscilações Amortecidas. Regime subcrítico.
O fator de amortecimento é menor que a frequência natural:
Mostre que se x(0)=x0 e v(0)=v0, temos:
ω′=iω02−(2γ)2=imk−(2mb)2
\omega^{\prime}
=i\sqrt{\omega_0^2-\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2}
=i
\sqrt{\frac{k}{m}-\left(
\frac{b}{2m}
\right)^2}
⇒ω′<0
\Rightarrow\omega ' < 0
A+=x0
A_+ =x_0
A−=ω02−(γ/2)2v0+x02γ
A_- =
\frac{v_0 +x_0\frac{\gamma}{2}}{
\sqrt{\omega_0^2
-(\gamma/2)^2}
}
Simule:
x0=10 cm
v0=0 cm/s
m=1,0 kg
k=4,0 N/m
b=2 kg/s
Calcule: bc;γ/2,ω0;A+;A−.
A amplitude decai exponencialmente no tempo, e com oscilação devido ao número complexo i:
x(t)=Ae−2γtcos(ω′t+δ)
x(t) =
Ae^{-\frac{\gamma}{2}t}
\cos(\omega 't+\delta)
⇒b<bc=2mk
\Rightarrow b< b_c =2\sqrt{mk}
x(t)=e−2γt[A+e+iω′t+A−e−iω′t]
x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2}t}[ A_+ e^{+i\,\omega ' t}+
A_- e^{-i\,\omega ' t}]
ATENÇÃO: c≡b;y(0)=x0
Mostre isso. Apresente para mim e ganhe bônus. Desafie-se!
Condições iniciais
Oscilações Amortecidas. Regime subcrítico.
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
As energias cinética e potencial no MHS variam no tempo:
K(t)=21mv2=21mω02A2sen(ω0t+δ)
K(t)=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\text{sen}(\omega_0 t+\delta)
U(t)=21mω02x2=21mω02A2cos(ω0t+δ)
U(t)=\frac{1}{2}m\omega_0^2x^2=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\text{cos}(\omega_0 t+\delta)
Os valores médios dessas energia em uma oscilação, são:
K(t)≡T1∫0TK(t)dt=41mω02A2
\overline{K(t)} \equiv \frac{1}{T}\int_0^T K(t) dt = \frac{1}{4}m\omega_0^2A^2
U(t)≡T1∫0TU(t)dt=41mω02A2
\overline{U(t)} \equiv \frac{1}{T}\int_0^T U(t) dt = \frac{1}{4}m\omega_0^2A^2
A energia mecânica no MHS é uma constante no tempo, a potência é nula:
E=21mω02A2
E = \frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
⇒K(t)=21E
\Rightarrow \overline{K(t)}=\frac{1}{2}E
⇒U(t)=21E
\Rightarrow \overline{U(t)}=\frac{1}{2}E
Fonte: Halliday & ResnickIntegre essas funções no SYMPY e mostre que os resultados são os valores médios das energias apresentados. Lembre-se que T=2π/ω0. Apresente seu resultado e ganhe bônus.
P=dtdE=0
P=\frac{dE}{dt} = 0
⇒
\Rightarrow
Em um período T a energia é intercambiada entre cinética e potencial.
Simulador: https://www.geogebra.org/m/jwq5gucuOscilações Amortecidas. Balanço da energia.
A potência média dissipada pelo oscilador não é nula e cada ciclo (período):
P=dtdE=Fv⋅v=−bv⋅v=−bv2
P=\frac{dE}{dt} = \vec F_v\cdot \vec v=-b\,\vec v\cdot \vec v=-bv^2
A energia mecânica decresce no tempo porque a força do amortecimento realiza trabalho (negativo) sobre o sistema.
O membro direito da equação é negativo sempre que o corpo oscilante estiver em movimento, independentemente de a velocidade v ser positiva ou negativa. Essa dissipação é máxima quando o oscilador passa pela posição de equilíbrio (v=vmax). Nos pontos de retorno (v=0) não há dissipação de energia.
v=dtdx
v=\frac{dx}{dt}
onde
P=dtdE=−bv2=−bmE
\overline{P}=\overline{\frac{dE}{dt}} =-b\overline{v^2}=-b\frac{\overline{E}}{m}
Integrando, vemos que a energia mecânica diminui exponencialmente no tempo:
onde
E0=21mω02A2
E_0=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
⇒EdE=−mbdt
\Rightarrow \frac{\overline{dE}}{\overline{E}}=-\frac{b}{m}dt
E(t)=E0e−mbt
E(t)=E_0 e^{-\frac{b}{m}\,t}
K(t)=21E
\overline{K(t)}=\frac{1}{2}E
21mv2=21E
\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{1}{2}E
v2=mE
\overline{v^2}=\frac{\overline{E}}{m}
⇒∫E0EEdE=∫0t−mbdt
\Rightarrow \int_{E_0}^{E}\frac{\overline{dE}}{\overline{E}}=\int_0^t-\frac{b}{m}dt
A potência dissipada é:
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
Para o oscilador harmônico fracamente amortecido a energia cai exponencialmente com um tempo característico ou constante de tempo (τ). Para fins práticos é o tempo de vida da oscilação - o quanto ela dura.
onde
E(t)=E0e−γt
E(t)=E_0 e^{-{\gamma}\,t}
τ=γ1=bm
\tau = \frac{1}{\gamma}=\frac{m}{b}
Fonte: Randall KnightO tempo característico de decaimento da amplitude é o dobro do tempo característico de decaimento da energia.
x(t)=A(t)cos(ω′t−δ)
x(t) =
A(t)
\cos(\omega 't-\delta)
A(t)=Ae−2γt
A(t)=Ae^{-\frac{\gamma}{2}\,t}
onde
O fator γ é o recíproco do tempo necessário para a energia diminuir 1/e do seu valor inicial.
Quanto tempo leva para a amplitude diminuir?
Para t=2/γ a amplitude de oscilação cai por um fator 1/e≈37%
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
As aplicações práticas exigem a avaliação da qualidade do oscilador pelo assim chamado fator de qualidade, Q do oscilador:
E(t)=E0e−τ1t
E(t)=E_0 e^{-\frac{1}{\tau}\,t}
⇒dtdE=−τE
\Rightarrow \frac{dE}{dt} =-\frac{E}{\tau}
⇒EdE=−τdt
\Rightarrow \frac{dE}{E} =-\frac{dt}{\tau}
(E∣ΔE∣)ciclo=τT
\left(\frac{|\Delta E|}{E} \right)_{ciclo}=\frac{T}{\tau}
(E∣ΔE∣)ciclo=ω0τ2π
\left(\frac{|\Delta E|}{E} \right)_{ciclo}=\frac{2\pi}{\omega_0\tau}
Q=ω0τ=γω0
Q=\omega_0\tau=\frac{\omega_0}{\gamma}
⇒τT=Q2π
\Rightarrow \frac{T}{\tau} =\frac{2\pi}{Q}
onde
O fator de qualidade (Q) é inversamente proporcional à dissipação relativa da energia por ciclo:
Q=∣ΔE∣/E2π=ω0τ=γω0
Q=\frac{2\pi}{|\Delta E|/E}=\omega_0\tau=\frac{\omega_0}{\gamma}
Quanto maior Q melhor é o oscilador (γ é grande!)
Para um período:
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
O fator de qualidade (Q) é um número que é grande comparado à unidade para sistemas oscilatórios com pequenas taxas de dissipação de energia.
ω′=ω02−(2γ)2=ω02−(2Qω0)2=ω01−4Q21
\omega^{\prime}
=\sqrt{\omega_0^2-\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2}
=
\sqrt{\omega_0^2-\left(
\frac{\omega_0}{2Q}
\right)^2}
=\omega_0\sqrt{1-
\frac{1}{4Q^2}
}
Se (Q) é grande comparado a unidade obtemos que ω′≈ω0. Então,
x(t)=Ae−2γtcos(ω′t−δ)≈Ae−2Qω0tcos(ω0t−δ)
x(t) =
Ae^{-\frac{\gamma}{2}\,t}
\cos(\omega 't-\delta)
\approx
Ae^{-\frac{\omega_0}{2Q}\,t}
\cos(\omega_0t-\delta)
A(t)=Ae−2Qω0t
A(t) = Ae^{-\frac{\omega_0}{2Q}\,t}
O fator (Q) está relacionado ao número de ciclos da oscilação sobre a qual a amplitude da oscilação diminui por um fator 1/e.
Para n oscilações, t=nT=2πn/ω0 e:
A(n)=Ae−Qnπ
A(n) = Ae^{-\frac{n\pi}{Q}}
Para n=Q/π a amplitude de oscilação cai por um fator 1/e≈37%
Quantas oscilações leva para a amplitude diminuir?
O que ocorre com a amplitude se Q→∞?
Questão 1
No laboratório, um estudante do BCT/ECT estuda um pêndulo analisando o ângulo θ (graus) que o fio faz com a vertical em função do tempo t(s), obtendo o gráfico θ x t mostrado na figura
Fonte: Wolfgang & Bauer
a) A partir da leitura do gráfico informe e/ou calcule as grandezas físicas: período (T), a frequência (f), a frequência angular (𝜔) e a amplitude do movimento do pêndulo (θ0).
b) O pêndulo é puxado lateralmente até um ângulo θ0 com a vertical e a seguir é liberado a partir do repouso. Em que instantes de tempo, a partir da leitura do gráfico acima, o pêndulo passará pelo ponto mais baixo tal como mostrado no desenho abaixo? Justifique.
c) Nos tempos indicados na sua resposta do item (c), calcule a magnitude da velocidade da esfera neste ponto mais baixo da trajetória.
Questão 2
Considere que um mecanismo do tipo Scotch Yoke tenha sido utilizado em uma mesa de vibração em um processo industrial e que ensaios experimentais determinaram o gráfico do deslocamento do êmbolo do mencionado mecanismo, conforme mostra a figura a seguir.
Enade 2023 - Engenharia Mecânica Q25. Considerando o gráfico desse mecanismo, avalie as afirmações a seguir.
-
O tempo para que o movimento se repita, a partir do repouso, é de 4π segundos.
-
O máximo valor atingido pelo êmbolo, ou seja, sua amplitude, é de 8,0 mm.
-
A frequência desse sistema é dada por f = 1/(2π) Hz.
-
A frequência angular do êmbolo é de ω = 1 rad/s.
É correto o que se afirma em:
A - I e II, apenas.
B - I e IV, apenas.
C - II e III, apenas.
D - III e IV, apenas.
E - I, II, III e IV.
Questão 3
Uma massa está vibrando na extremidade de uma mola com constante de mola igual a 225 N/m. A figura mostra um gráfico de sua posição x(cm) em função do tempo t(s). Nos instantes t = 0 s, 1 s, 2 s, 3 s e 4 s, a massa está instantaneamente em repouso.
Fonte: Sears & Zemanskya) A partir da leitura do gráfico percebemos queda da amplitude com o tempo. Calcule o fator de amortecimento, ɣ, a partir desta informação
b) A partir do gráfico é possível determinar a frequência angular amortecida, ω′ . Calcule seu valor e unidade.
c) [0,5 pt] A partir dos itens (a) e (b) é possível determinar a massa do oscilador. Calcule seu valor em quilogramas.
d) [1,0 pt] Calcule a energia que esse sistema continha originalmente no instante t = 0 s. No instante t = 4 s, a energia do sistema diminuiu para 0,101 J, aproximadamente. Calcule a energia dissipada neste intervalo de tempo e, em seguida, o fator de qualidade.
Ronai, Não se esqueça de comentar sobre o fator de qualidade Q.
Questão 4
Para um oscilador amortecido: m = 250 g, k = 85 N/m e b = 70 g/s.
(a) Qual o período do movimento?
(b) Qual é o tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduza à metade do valor inicial?
(c) Quanto tempo é necessário para que a energia mecânica se reduza à metade do valor inicial?
(d) Qual o fator de qualidade?
Questão 5
Um corpo com massa de 20 g é suspenso por uma mola cuja constante vale 2,0 N/m. Qual deve ser o valor da constante de arraste b para que a frequência do oscilador seja metade da frequência natural?
Questão 6
Quando a tecla do dó central do piano (262 Hz) é tocada, ela perde metade de sua energia após 4,00 s. (a) Qual é o tempo de decaimento, 𝛕? (b) Qual é o fator Q para esta corda de piano? (c) Qual é a perda relativa de energia por ciclo?
Questão 7
Uma mola de constante elástica k = 1,00 N/m tem um objeto de massa m = 1,00 kg preso a ela, que se move em um meio de constante de amortecimento b = 2,00 kg/s. O objeto é solto, do repouso, da posição x = +5 cm em relação à posição de equilíbrio. Onde ele estará após 1,75 s?
Questão 8
Um pequeno objeto com massa 3,0 kg caiu do telhado de um edifício alto e adquiriu uma rapidez terminal de 25 m/s. Considere que uma força de atrito exercida sobre o objeto tem a mesma forma de uma força de arrasto de um oscilador amortecido; isto é, a força é oposta ao movimento, e sua magnitude é linearmente proporcional à rapidez do objeto.
Um objeto idêntico ao que caiu é fixado a uma mola vertical (k = 230 N/m) e colocado para oscilar no ar com uma amplitude inicial de 0,20 m.
(a) Qual é o fator de qualidade para este oscilador?
(b) Quanto tempo leva para a amplitude diminuir para metade do seu valor inicial?
(d) Quanta energia foi dissipada neste intervalo de tempo?
Questão 9
Encontre as soluções para as seguintes equações diferenciais, descreva o caráter da solução (CRÍTICA, SUPERCRÍTICA, SUBCRÍTICA). Determine as constantes: m,γ,k,ω0,ω′,T
(i) y'' + 2y' + y = 0,
ii) y'' + 2y' + 10y =0,
(iii) y'' + 9y = 0
(iv) y'' - y + 6y =0,
Questão 10
Em um oscilador amortecido com m = 250 g, k = 85 N/m e b = 70 g/s, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos? H15.58
RESUMO
FONTE: https://youtu.be/vLaFAKnaRJU
É possível habilitar as legendas em português (clique no símbolo de engrenagem no canto inferior direito do vídeo).
Aula 20 Fundamentos de Mecânica Prof. Ronai Lisbôa UFRN - ECT - BCT
FM - Aula 20
By Ronai Lisboa
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Oscilações. Movimento Harmônico Simples Amortecido: crítico, subcrítico e supercrítico. Balanço de Energia. Fator de Qualidade.
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