Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 22
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Reconhecer a necessidade das oscilações forçadas para manter a oscilação natural.
Explicar o fenômeno de ressonância.
Estudar os modelos físico-matemáticos das oscilações forçadas e ressonância.
Como uma força propulsora aplicada a um oscilador na frequência certa pode provocar uma resposta muito intensa, ou ressonância?
Bibliografia:
Tipler
Capítulo 14
Seção: 14.5
Video aulas: USP, UNICAMP, UFF
(links sigaa)
Motivação
O fenômeno de ressonância.
No oscilador harmônico livre, a oscilação é permanente e a energia mecânica é conservada.
Seria possível garantir um movimento perpétuo, mas no mundo real não é esse o caso, pois existem forças de arrasto (aula 20).
Não ocorre em sistemas físicos reais para sempre.
A(t)=A(t_0)
E(t)=E(t_0)
No oscilador harmônico amortecido, a amplitude da oscilação e a energia mecânica diminuem no exponencialmente com o tempo porque existe algum arrasto (aula 21):
Como manter a amplitude da oscilação e contornar os efeitos dissipativos?
Ocorre em sistemas físicos reais nos amortecimentos fracos.
A(t)=A(t_0)e^{-\frac{\gamma}{2} t}
E(t)=E(t_0)e^{-\gamma\, t}
Oscilação livre e amortecida. Revisão.
Oscilação livre e amortecida. Revisão.
No oscilador harmônico livre:
m\ddot{x}+k x = 0
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
A 2a. Lei de Newton (EDO):
tem como função movimento:
x(t) = A \cos(\omega_0t +\delta)
com a frequência angular natural do oscilador:
No oscilador harmônico amortecido:
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = 0
\omega ' = \sqrt{
\left(\frac{k}{m}\right)
-
\left(\frac{b}{2m}\right)^2
}
A 2a. Lei de Newton (EDO):
tem como função movimento (subcrítico):
x(t) = Ae^{-\frac{\gamma}{2}t} \cos(\omega 't +\delta)
com a frequência angular amortecida:
Como serão as equações do oscilador harmônico forçado?
T_0 =\frac{2\pi}{\omega_0}
T_0 =\frac{2\pi}{\omega´}
Oscilação forçada. A ideia.
Você tem algum ideia para manter o balanço oscilando?
Faça atuar sobre o oscilador uma força propulsora externa.
Transfira energia ao oscilador via trabalho motor (ou elétrico!)
Você vai produzir um movimento harmônico forçado.
Fonte: https://media3.giphy.comQuando você empurra alguém sentado em um balanço, dá à pessoa empurrões periódicos com o propósito geral de fazê-la balançar cada vez mais alto – ou seja, aumentar a amplitude das oscilações.
Você só consegue aumentar a amplitude do movimento de balanço da pessoa se empurrá-la aproximadamente com a mesma frequência com a qual o balanço já oscila.
A força motora deve ser periódica.
Oscilação forçada. A EDO.
A EDO do oscilador harmônico amortecido forçado é:
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = F_m\cos(\omega_mt+\varphi)
Há duas frequências angulares relevantes:
- A frequência natural:
- A frequência motriz:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}
\omega_m
Frequência angular motriz
Força motriz (dependente do tempo)
Para manter um sistema vibrando na presença de atrito (\(b\)), temos que continuar empurrando-o com uma força motriz periódica externa.
A frequência dessa força motriz (\(\omega_m=2\pi f_m\)) é chamada de frequência motriz, \(f_m\), que é totalmente independente da frequência natural do sistema (\(\omega_0=2\pi f_0\)).
Sistema
Externa
\vec F_m
\vec F_m
k
b
m
Fonte: Tiplerforça motriz
com
frequência externa: \(\omega_m\)
Oscilação forçada. A EDO.
A solução é a soma da parte transiente (quando a força externa é nula) com a parte estacionária (quando a força externa não é nula):
x = x_{transiente}+x_{estacionaria}
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = F_m\cos(\omega_mt+\delta)
Dada a EDO do oscilador harmônico forçado:
A função movimento da parte transiente já conhecemos (oscilação subcrítica). Precisamos descobrir a função movimento da parte estacionária.
Você tem idéia sobre como deve ser essa função no regime estacionário?
transiente
estacionária
Sem força
Com força
Oscilação forçada. A EDO.
Movimento no regime transiente. Sem a força propulsora temos um oscilador harmônico amortecido de modo que a amplitude diminui exponencialmente no tempo.
Movimento no regime estacionário. Com a força externa a amplitude das oscilações é fica constante ao aplicar uma força que varia periodicamente com o tempo.
O papel da força propulsora é manter a amplitude da oscilação.
Simule:
\(m=1,0\) kg
\(k=2,0\) N/m
\(F_0=1,0\) N
\(y_0=5,0\) N
\(b=0,2\) Kg/s
Varie a frequência da força externa:
\(1,1 \leq\omega_m\leq 1,8\) rad/s
Para que valor de \(\omega_m\) a amplitude \(x_m\) é máxima?
x_{estacionaria} = x_m\cos(\omega_mt+\varphi)
Oscilação forçada. A ressonância s/ amortecimento.
Se a constante de amortecimento é nula (\(b\rightarrow 0\)) ou o amortecimento é muito fraco:
A condição, \(\omega_0=\omega_m\) levaria a uma amplitude infinita, (\(x_m\rightarrow \infty\)).
Fonte: https://youtu.be/rvwwQAfdBWsA condição, \(\omega_m << \omega_0\) levaria a uma amplitude finita, (\(x_m \rightarrow F_m/k\)). A força motora está em fase com o deslocamento (\(\delta=0)\).
A condição, \(\omega_m >> \omega_0\) levaria a uma amplitude nula, (\(x_m \rightarrow 0\)). A força motora está em oposição de fase com o deslocamento (\(\delta = \pi\)).
m\ddot{x}+k x = F_m\cos(\omega_mt+\delta)
Oscilação forçada. A ressonância s/ amortecimento.
Para o amortecimento nulo, a segunda lei de Newton permite escrever a EDO do sistema:
\vec F_e + \vec F_m=m\vec a
-kx+F_m\cos(\omega_m t+\delta)=ma
\Rightarrow ma+kx=F_m\cos(\omega_m t+\delta)
m\ddot x+kx=F_m\cos(\omega_m t+\delta)
\Rightarrow -m\omega^2x_m\cos(\omega_m t+\delta)+kx_m\cos(\omega_m t+\delta)=F_m\cos(\omega_m t+\delta)
x(t)
F_m
k
\vec F_e
A solução da solução estacionária deve ter o mesmo comportamento da força motora:
x(t)=x_m\cos(\omega_mt+\delta)
\ddot x(t)=-\omega^2x_m\cos(\omega_m t+\delta)
x_m = \frac{F_m}{m
(\omega_0^2-\omega_m^2)
}
A amplitude da solução estacionária é:
Oscilação forçada. A ressonância s/ amortecimento.
x_m = \frac{F_m}{m
(\omega_0^2-\omega_m^2)
}
A condição, \(\omega_0=\omega_m\) levaria a uma amplitude infinita, (\(x_m\rightarrow \infty\)).
A condição, \(\omega_m << \omega_0\) levaria a uma amplitude finita, (\(|A| \rightarrow F_m/k\)). A força motora está em fase com o deslocamento, \(\delta = 0\), isto é um mesmo sentido (em 1D).
A condição, \(\omega_m >> \omega_0\) levaria a uma amplitude nula, (\(|A| \rightarrow F_m/(m\omega_m^2)\rightarrow 0\)). A força motora está em fase oposta ao deslocamento, \(\delta = \pi\), isto é em sentido contrário (em 1D).
Amplitude
Fase
0, \quad \omega_m<\omega_0
\pi, \quad \omega_m>\omega_0
\delta =
\left\{\right.
A
\delta\ /\pi
Dada a amplitude da solução estacionária:
A fase depende da relação entre as frequências:
Uma frequência externa igual à frequência natural, quando (\(b\rightarrow 0\)), é algo que deve ser evitado porque pode ser catastrófico.
Há um colapso, pois a amplitude de oscilação ou a potência média do sistema serão máximas.
Fonte: https://youtu.be/jh_9KzCBcP0Fonte: https://youtu.be/Az1_Zv1gjVUOscilação forçada. A ressonância s/ amortecimento.
Em sistemas reais esse crescimento ilimitado não ocorre de fato. Sempre há algum amortecimento no sistema porque \(b\neq 0\).
x_m = \frac{F_m}{m
(\omega_0^2-\omega_m^2)
}\rightarrow \infty
O sistema de molas de mesma constante elástica e diferentes massas oscilarão conforme a frequência da força motora (driver).
Para que parâmetros do simulador a amplitude de oscilação será máxima para cada massa?
Oscilação forçada. A ressonância c/ amortecimento.
A potência transferida ao sistema massa-mola vai depender dos coeficientes de amortecimento, da frequência natural e também da fase.
Quais as massas e frequências de ressonância de cada um dos osciladores massa-mola?
Experimente: \(f_m = 0,5 \) Hz, \(f_m = 1,0 \) Hz, \(f_m = 2,0 \) Hz.
Quais massas entram em ressonância para cada uma das frequências motoras acima.
Para sistemas com amortecimento, a EDO fica:
x_{estacionaria}(t) = x_m\cos(\omega_mt)
A amplitude (\(x_m\)) depende das frequências natural (\(\omega_0\)), externa (\(\omega_m\)), mas também da coeficiente de amortecimento (\(b\)).
Para que parâmetros do simulador a amplitude de oscilação será máxima?
A constante de fase é,
\tan \delta = \frac{\omega_m\gamma}{(\omega_0^2-\omega_m^2)},
x_{m} = \frac{F_m}{m\sqrt{
(\omega_0^2-\omega_m^2)^2
+\gamma^2\omega_m^2
}}
Oscilação forçada. A ressonância c/ amortecimento.
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = F_m\cos(\omega_mt+\delta)
A partir da solução estacionária:
x(t)
f(t)
b
k
Permite que \(\omega_0 = \omega\)!
\gamma = \frac{b}{m}
0 \leq \delta\leq \pi
\omega_0^2 = \frac{k}{m}
\omega_m = motora
x_{m} = \frac{F_m}{m\sqrt{
(\omega_0^2-\omega_m^2)^2
+\gamma^2\omega_m^2
}}\Rightarrow x_{max}=\frac{F_m}{b\omega_m}
=\frac{F_m}{b\omega_0}
A ressonância ocorre em um sistema oscilante quando a frequência motriz se iguala à frequência natural:
Para este caso especial, a amplitude do movimento torna-se máxima.
\omega_0 = \omega_m
Fonte: Halliday & ResnickPara uma mesma força motora aplicada, a amplitude aumenta à medida que \(b\) diminui. A largura da amplitude aumenta com o aumento de \(b\).
Oscilação forçada. A ressonância c/ amortecimento.
Oscilação forçada. A potência.
No regime estacionário a potência instantânea da força viscosa(*)
p(t)=-{\vec F_v\cdot \vec v(t)}
Integrando no tempo (em um período), obtemos a potência média:
p(t)=-(-b{\vec v).\vec v}=b{v(t)^2}
{p} (t)=b(x_m^2\omega_m^2)\,{\text{sen}^2(\omega_mt+\delta)}
\overline{P} =\frac{1}{2}b(x_m^2\omega_m^2)
e
x_{m} = \frac{F_m}{m\sqrt{
(\omega_0^2-\omega_m^2)^2
+\gamma^2\omega_m^2
}}
\overline{P} =\frac{1}{2}b\frac{F_m^2}{m^2[(\omega_0^2-\omega_m^2)^2+\gamma^2\omega_m^2]}\omega_m^2=\frac{F_m^2}{2b}\text{sen} \,\delta
Sabendo que \( x(t) = x_m \cos(\omega_m t + \delta) \) e \(v=dx/dt = -\omega_m x_m \text{sen}(\omega_m t + \delta) \) :
A potência média é máxima quando \(\delta = \pi/2\).
(*) o correto seria calcular a potência da força motora externa. LINK.
Contudo, a potência da força motora deve ser igual à potência da força de arrasto que está dissipando uma dada quantidade de energia no tempo.
\Rightarrow
Você saberia mostrar porque sen(\(\delta\)) surgiu na última passagem? Isto vale bônus.
\overline{P}_{max} =\frac{F_m^2}{2b}
Oscilação forçada. A potência.
A condição de ressonância, \(\omega_0=\omega_e\) ocorre quando \(\delta = \pi/2\) e a potência média é máxima:
\overline{P} _{max}=\frac{F_m^2}{2b}
Fonte: Prof. Tarciro MendesNo amortecimento fraco (\(b\rightarrow 0\)), o fator de qualidade (\(Q\)) é grande e a largura do pico (\(\Delta\omega\)) é pequeno.
No amortecimento forte (\(b\rightarrow \infty\)), o fator de qualidade (\(Q\)) é pequeno e (\(\Delta\omega\)) é grande.
{\Delta\omega}=\frac{{\omega_0}}{Q}
{\Delta\omega}=\frac{{b}}{m}
É possível mostrar que a largura de banda \(\Delta \omega\) (calculada à meia altura da potência média máxima) é inversamente proporcional ao fator de qualidade:
\Rightarrow
Q=\frac{{\omega_0}}{\gamma}
\overline{P} _{max}=\frac{F_m^2}{2b}
\frac{1}{2}\overline{P} _{max}=\frac{F_m^2}{4b}
Oscilação forçada. Eletromagnetismo.
A ressonância ocorre em muitos tipos de sistemas. Num sistema RLC (radio AM):
i(t) = i_m\cos(\omega_m t +\varphi)
i_m = \frac{\mathcal{E}}{\sqrt{R^2+(\omega_mL-\frac{1}{\omega_mC})^2}}
\omega_mL=\frac{1}{\omega_mC}\Rightarrow \omega_m = \frac{1}{\sqrt{LC}}=\omega_0
A corrente elétrica no circuito:
A amplitude da corrente no circuito:
A ressonância no circuito:
{\Delta \omega}=\frac{{
R
}}{L}
Q=\frac{{
1
}}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
\omega_0=\sqrt{\frac{{
1
}}{LC}}
{\Delta\omega}=\frac{{\omega_0}}{Q}
Questão 1
Um corpo de 1,5 kg de massa, preso a uma mola de constante elástica igual a 600 N/m, perde 3,0 por cento de sua energia em cada ciclo. O mesmo sistema é excitado por uma força senoidal com o valor máximo F0 = 0,50 N. (a) Quanto vale Q para este sistema? (b) Qual é a frequência angular de ressonância? (c) Se a frequência de excitação varia lentamente através da ressonância, qual é a largura de ressonância ∆ω? (d) Qual é a amplitude, na ressonância? (e) Qual é a amplitude, se a frequência de excitação é ω = 19 rad/s?
Questão 2
Um oscilador amortecido perde 3,50 por cento de sua energia a cada ciclo. (a) Quantos ciclos decorrem, até que metade de sua energia seja dissipada? (b) Qual é o seu fator Q? (c) Se a frequência natural é 100 Hz, qual é a largura da curva de ressonância quando o oscilador é excitado por uma força senoidal?
Questão 3
Um sistema massa-mola linearmente amortecido oscila a 200 Hz. A constante de tempo do sistema é 2,0 s. Em t = 0, a amplitude de oscilaçÃo é 6,0 cm e a energia do sistema oscilante é 60 J. (a) Quais são as amplitudes de oscilação em t = 2,0 s e em t = 4,0 s? (b) Quanta energia é dissipada no primeiro intervalo de 2 segundos e no segundo intervalo de 2 segundos?
Questão 4
Sismólogos e geólogos constataram que a Terra vibra com um período de ressonância de 54 min e um fator Q de cerca de 400. Após um grande terremoto, a Terra continua vibrando por até 2 meses. (a) Determine a porcentagem de energia de vibração dissipada em cada ciclo, devido às forças de amortecimento. (b) Mostre que, após n períodos, a energia de vibração é dada por \(E = E_0(0,984)^n\), onde \(E_0\) é a energia original. (c) Se a energia de vibração original de um terremoto é \(E_0\), quanto vale a energia após 2,0 dias?
Questão 5
Suponha que m = 1, k = 9, \(F_0\) = 80 e \(\omega_e\) = 5, de modo que a equação diferencial do MHS forçado não amortecido seja:
m\ddot x +kx=F_0\cos(\omega_e t)
\ddot x +9x=80\cos(5 t)
Encontre a solução geral \(x(t)\) se \(x(0)=0\) e \(\dot x(0) = 0\). Encontrar a solução e determinar os valores de A, B e C.
Sabe-se que:
x(t)=x_t(t) + x_e(t)
x_t(t) = A \cos(\omega_0 t)+
B \text{sen}(\omega_0 t)
x_e(t) = C \cos(\omega_e t)
onde:
Não está resolvida no SIGAA e vale 1,0 ponto se entregue resolvida e explicada presencialmente ao professor antes da avaliação 3.
Se possível construir o gráfico x por t.
Solução da EDO quando \(F_0 =0\). Solução transiente.
Solução da EDO quando \(F_0 \neq 0\). Solução estacionária.
Questão 6
Suponha que m = 1, b= 2, k = 2, \(F_0\) = 20 e \(\omega_e\) = 2, de modo que a equação diferencial do MHS forçado amortecido seja:
m\ddot x +b\dot x+kx=F_0\cos(\omega_e t)
\ddot x +2\dot x +2x=20\cos(2 t)
Encontre a solução geral \(x(t)\) se \(x(0)=0\) e \(\dot x(0) = 0\). Encontrar a solução e determinar os valores de A, B, C e D.
Sabe-se que:
x(t)=x_t(t) + x_e(t)
x_t(t) = e^{-\frac{\gamma}{2} t}(A \cos(\omega' t)+
B \text{sen}(\omega' t))
x_e(t) = C \cos(\omega_e t)+
D \cos(\omega_e t)
onde:
\omega' =\sqrt{\omega_0^2+\frac{\gamma^2}{4}}
Solução da EDO quando \(F_0 =0\). Solução transiente.
Solução da EDO quando \(F_0 \neq 0\). Solução estacionária.
Não está resolvida no SIGAA e vale 1,0 ponto se entregue resolvida e explicada presencialmente ao professor antes da avaliação 3.
Se possível construir o gráfico x por t.
Quais as aplicações que decorrem dessa ideia de ressonância?
Motivação
Fonte: https://www.researchgate.netIlustração de um sistema de comunicação via rádio.
Ondas eletromagnéticas emitidas na antena da estação de transmissão propagam-se até a antena da estação receptora, onde seu sinal é demodulado no sistema do receptor.
A corrente induzida na antena de quadro (indutor), por um sinal eletromagnético, é oscilatória quando um capacitor é acoplado na antena. Sintonizar o rádio significa colocar o sistema em ressonância: variar a capacitância ou a indutância do rádio, até que sua frequência de oscilação natural se iguale ao do sinal eletromagnético, produzindo correntes oscilantes com amplitudes máximas
f=f_0=2\pi\sqrt{\frac{1}{LC}}
Quais as aplicações que decorrem dessa ideia de ressonância?
Motivação
A Transformada de Fourier é uma técnica matemática que possibilita, na área de Processamento Digital de Imagens (PDI), converter imagens do domínio do espaço para o domínio da frequência.
domínio do espaço
domínio da frequência
No domínio da frequência há uma representação das frequências que compõe a imagem, assim, é possível selecionar frequências específicas e manipula-las excluindo-as ou dando um destaque maior ou menor à frequência desejada.
A solução completa da EDO não homogênea
Dada a equação da oscilação amortecida e forçada:
A solução completa é a soma da parte transiente e estacionária:
x(t)=Ae^{\frac{\gamma}{2}t}\cos(\omega't+\delta)+\frac{F_m}{\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega_m^2)^2+b^2\omega_m^2}}\cos(\omega_mt+\delta)
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_m\cos(\omega_mt+\varphi)
onde para um sistema massa-mola:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}
\gamma = \frac{b}{m}
\omega' = \sqrt{\omega_0^2-\left(\frac{\gamma}{2}\right)^2}
\tan \delta = \frac{\omega_m\gamma}{(\omega_0^2-\omega_m^2)},
0 \leq \delta\leq \pi
Solução da EDO quando \(F_0 =0\).
Solução transiente.
Solução da EDO quando \(F_0 \neq 0\).
Solução estacionária.
FM - Aula 22
By Ronai Lisboa
FM - Aula 22
Oscilações. Movimento Harmônico Amortecido e Forçado. Ressonância. Energia e Potência. Fator de Qualidade.
