Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 07
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
BCT - ECT - UFRN
Objetivos
Enunciar a Segunda Lei de Newton
Enunciar a Terceira Lei de Newton
Enunciar a Primeira Lei de Newton
Aplicar as Leis de Newton me problemas clássicos:
Plano inclinado.
Máquina de Atwood.
Movimento horizontal.
Movimento vertical.
A primeira lei de Newton
Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças imprimidas sobre ele.
Corpus omne perseverare in statu suo quiscendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.
A primeira lei de Newton. Os quadros de referenciais inerciais.
Quando estamos nos movendo à velocidade constante em relação à Terra, as coisas ao nosso redor se comportam da mesma maneira que se comportam quando estamos em repouso no chão.
Fonte: https://youtu.be/08LS9CEB9qI
Devemos especificar um eixo de referência ao longo do qual o movimento ocorre e uma origem sempre antes de falarmos sobre o movimento.
O eixo e a origem são chamados de quadro de referência.
x
y
z
Estudamos o movimento de objetos ao longo de uma pista de baixo atrito, coletando nossos dados usando uma régua afixada no trilho e vários relógios (ou só um!).
Medimos no quadro de referência em repouso em relação à superfície da Terra
(quadro de referência da Terra).
x
y
z
A primeira lei de Newton. Os quadros de referenciais inerciais.
A velocidade vetorial do Passageiro em relação ao Observador é \(\vec v_{PO}\). Ela é a soma vetorial da velocidade do Passageiro em relação ao Trem, \(\vec v_{PT}\), com a velocidade do Trem em relação ao Observador, \(\vec v_{TO}\):
\vec v_{PO}=\vec v_{PT}+\vec v_{TO}
v_{PO}=+2,0\text{ m/s}+9,0\text{ m/s}
v_{PO}=+11,0\text{ m/s}
Observe que todas as velocidades são constantes. Seja qual for o referencial.
A primeira lei de Newton. Os quadros de referenciais inerciais.
Observador (em repouso em relação ao solo)
Passageiro (em movimento em relação ao observador)
Trem (movimento em relação ao observador)
Parece maior
Parece menor
Se o passageiro estivesse caminhando em direção à parte de trás do trem:
v_{PO}=-2,0\text{ m/s}+9,0\text{ m/s}
v_{PO}=+7,0\text{ m/s}
O movimento é um conceito relativo.
Nos último quadro de referência descobrimos que o passageiro se move a uma velocidade constante.
Se um objeto se move a uma velocidade constante no referencial da Terra, seu movimento observado a partir de qualquer referencial que se mova a uma velocidade constante em relação à Terra também está a uma velocidade constante.
As velocidades não necessariamente são as mesmas, mas são constantes em cada referencial.
A primeira lei de Newton. Os quadros de referenciais inerciais.
Quando estamos nos movendo à velocidade constante em relação à Terra, as coisas ao nosso redor se comportam da mesma maneira que se comportam quando estamos em repouso no chão.
A superfície do café na caneca não será diferente se você o toma sentado a sua mesa fixa à Terra ou em relação a um avião que viaja a 260 m/s.
A pessoa tomando o espumone o faz sentado à mesa de uma cafeteria ou sentado na poltrona de um avião que se move à velocidade de cruzeiro.
Nessa situação, ao analisar a superfície do espume você não é capaz de dizer se está em um avião que se move a 260 km/h ou em um carro a 90 km/h ou mesmo sentado à mesa de uma cafeteria.
A primeira lei de Newton. Os quadros de referenciais inerciais.
Quando estamos nos movendo à velocidade constante em relação à Terra, as coisas ao nosso redor se comportam da mesma maneira que se comportam quando estamos em repouso no chão.
A aceleração da chave ao cair não será diferente se você o faz na Terra ou em relação a um avião que viaja a 260 m/s.
A pessoa deixando uma chave cair no chão da sua casa quando vai se sentar ou sentado na poltrona de um avião que se move à velocidade de cruzeiro.
Nessa situação, a chave caindo você não é capaz de dizer se está em um avião que se move a 260 km/h ou em um carro a 90 km/h ou mesmo sentado em uma cadeira na sua casa.
A primeira lei de Newton. Os quadros de referenciais inerciais.
Qualquer referencial que se mova a uma velocidade constante em relação à Terra é chamado de referencial inercial.
Em um referencial inercial, qualquer objeto isolado que está em repouso permanece em repouso; qualquer objeto isolado em movimento continua se movendo a uma velocidade constante; qualquer objeto não isolado em movimento continua se movendo a uma aceleração constante.
A primeira lei de Newton. Os quadros de referenciais inerciais.
Podemos dizer se um referencial é inercial ou não, testando se a lei da inércia é válida ou não:
Uma conseqüência da Lei da Inércia é que não é possível deduzir das medições realizadas inteiramente em um referencial o movimento desse referencial em relação a outros referenciais.
\vec v=\vec 0
\vec v=\vec c
A primeira lei de Newton. Os quadros de referenciais inerciais.
Observando a superfície do café ou a chave caindo você não será capaz de dizer se está em repouso ou se movendo à velocidade constante. Exceto, claro se houver uma variação da velocidade do avião!
O movimento é um conceito relativo.
Se um objeto se move a uma velocidade constante no referencial da Terra, seu movimento observado a partir de qualquer referencial que se mova a uma velocidade constante em relação à Terra também está a uma velocidade constante.
A primeira lei de Newton. Os quadros de referenciais inerciais.
Se um objeto se move a uma aceleração constante no referencial da Terra, seu movimento observado a partir de qualquer referencial que se mova a uma velocidade constante em relação à Terra também está a uma velocidade constante.
Dada uma lei física em um certo referencial, qual será sua forma em outro referencial, isto é, como a lei física se transforma ao passarmos de um referencial para outro?
y
x
y'
x'
No início do movimento (origem):
As origens coincidem: \(x_{Pe} = x_{Ee} = 0 \) e \(y_{Pe} = y_{Ee} = 0\).
Os relógios estão sincronizados: \(t_{Pe} = t_{Ee} = 0 \).
A primeira lei de Newton e a relatividade de Galileu
Estamos analisando o evento que é o arremesso e o movimento do giz em relação a dois referenciais inercial.
Referencial 1: Professor (P)
Referencial 2: Estudante (E)
Evento: Movimento do giz (e)
P
E
e
Podemos relacionar um evento em relação a dois referenciais inerciais aplicando a relatividade de Galileu.
y
x
\Delta \vec r_{PE}
As medidas do evento (giz lançado no ar).
Professor mede: \(r_{Pe}\) e \(t_{Pe}\).
Estudante mede: \(r_{Ee}\) e \(t_{Ee}\).
\vec r_{pE}
y'
x'
y
x
\vec r_{Ee}
Após o deslocamento relativo dos referenciais:
\(t_{Ee}\) = \(t_{Pe}\) = \(t\).
O tempo é absoluto.
\vec r_{Pe}
\vec r_{Pe} = \Delta \vec r_{PE} + \vec r_{Ee}
A primeira lei de Newton e a relatividade de Galileu
As equações de transformação de Galileu.
y
x
\vec r_{Pe}
\Delta \vec r_{PE}
\vec r_{Ee}
y'
x'
\vec r_{Pe} = \Delta \vec r_{PE}+
\vec r_{Ee}
A posição do professor em relação ao evento é igual ao deslocamento relativo do professor em relação ao estudante mais a posição do estudante em relação ao evento.
O deslocamento relativo se dá em um intervalo de tempo \(\Delta t = t_e\). Assim,
\Delta \vec r_{PE} = \vec v_{PE}(t_e-0)
A equação da relatividade de Galileu fornece:
\vec r_{Pe} = \vec v_{PE}\,t_e
+
\vec r_{Ee}
A primeira lei de Newton e a relatividade de Galileu
A partir da relatividade de Galileu:
y
x
\vec r_{Pe}
\vec v_{PE}t
\vec r_{Ee}
y'
x'
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
\vec r_{Pe} = \vec v_{PE}\,t_e
+
\vec r_{Ee}
\vec v_{Pe} = \vec v_{PE}
+
\vec v_{Ee}
A velocidade do evento (e) em relação ao professor (P) é igual à velocidade do evento (e) em relação ao professor (E) mais a velocidade relativa dos referenciais (PE).
\vec r_{Ee} = \vec r_{Pe} - \Delta \vec r_{PE}
referencial do estudante
referencial do professor
Usualmente, essas equações são reescritas (se preferir também), como:
\vec v_{Ee} =
\vec v_{Pe}-
\vec v_{PE}
A primeira lei de Newton e a relatividade de Galileu
A partir da relatividade de Galileu:
y
x
\vec v_{Ae}
\vec v_{AB}
\vec r_{Be}
y'
x'
A variação é:
\vec v_{Ae} = \vec v_{AB}
+
\vec v_{Be}
\Delta \vec v_{Ae} =
\vec v_{Ae,f} -
\vec v_{Ae,i}
=
(
\vec v_{AB} +
\vec v_{Be,f}
) -
(
\vec v_{AB} +
\vec v_{Be,i}
)
=
\vec v_{Be,f} -
\vec v_{Be,i} =
\Delta \vec v_{Be}
As variações na velocidade do evento (giz) são as mesmas nos dois quadros de referência que se movem a uma velocidade relativa constante.
A aceleração do giz é:
\vec a_{Ae} \equiv
\lim_{\Delta t\rightarrow 0}
\frac{\Delta \vec v_{Bo}}{\Delta t} \equiv
\vec a_{Be}
Os dois observadores em movimento com velocidade constante medem a mesma aceleração.
A primeira lei de Newton e a relatividade de Galileu
A partir da relatividade de Galileu:
y
x
\vec v_{Ae}
\vec v_{AB}
\vec r_{Be}
y'
x'
\vec v_{Ae} = \vec v_{AB}
+
\vec v_{Be}
Qualquer referencial que se desloca com velocidade constante em relação a ele será também um referencial inercial.
As leis físicas conservam sua forma quando transformadas porque os referenciais são inerciais.
\vec r_{Ae} =
\vec r_{AB} +
\vec r_{Be}
\vec a_{Ae} =
\vec a_{Be}
Os dois observadores em movimento com velocidade constante medem a mesma aceleração.
A primeira lei de Newton e a relatividade de Galileu
As leis do universo são as mesmas em todos os referenciais inerciais, movendo-se a uma velocidade constante entre si.
A primeira lei de Newton e a relatividade de Galileu
As leis do universo são as mesmas em todos os referenciais inerciais, e não existe um referencial que esteja "em repouso" em algum sentido absoluto.
Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças imprimidas sobre ele.
A segunda lei de Newton
A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção da linha reta na qual aquela força é imprimida.
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressa, fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur
A Segunda Lei de Newton
A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção da linha reta na qual aquela força é imprimida.
Se há aceleração, então, a partícula não é livre.
Observa-se experimentalmente:
A força tem a direção da linha reta entre as partículas.
A força é proporcional à aceleração.
Se há aceleração existe uma interação de uma partícula com outra.
O movimento que não é natural é forçado.
\vec F_{12}
\vec v
\vec v
\vec v
\vec v
\vec a
Duas esferas interagem apenas quando colidem.
A Segunda Lei de Newton
Aqui está um referencial inercial(*),
(*) A estação espacial internacional está girando em órbita, mas o evento ocorre num intervalo tal que a estação é considerada um referencial inercial.
\frac{2\pi \Delta t}{T}<<1
As interações ocorrem entre um par de objetos.
As interações fazem os objetos acelerarem (variação da velocidade no tempo).
A colisão faz:
O carro 1 sair do repouso.
O carro 2 reduzir a velocidade.
Antes a velocidade é nula. Depois é constante.
Antes a velocidade é constante. Após é nula.
Movimento natural
Movimento forçado
Fonte: http://www.iwant2study.org
A Segunda Lei de Newton
Em um referencial inercial o movimento forçado é aquele em que:
A partir da colisão entre dos carros padrões é possível construir o gráfico da posição versus o tempo.
Aqui temos uma simulação (idealizada) do que ocorre nos laboratórios de física.
A Segunda Lei de Newton
Para dois carros idênticos (padrões) há uma troca de velocidades devido a colisão.
\vec v_2 = \vec 0
\vec v_1
\vec v'_1
\vec v'_2
\vec v_2
\vec v_1 = \vec 0
v_1=+0,60\text{ m/s}
v_2=0\text{ m/s}
v_2=+0,60\text{ m/s}
v_1=0\text{ m/s}
ANTES
DEPOIS
A Segunda Lei de Newton
v_1=+0,62\text{ m/s}
v_2=+0,14\text{ m/s}
v_2=+0,62\text{ m/s}
v_1=+0,14\text{ m/s}
Não importa se um dos carros está em movimento ou em repouso. Há troca de velocidades devido à colisão entre eles.
\vec v_1
\vec v_2
\vec v_1
\vec v_2
ANTES
DEPOIS
A Segunda Lei de Newton
Para dois carros padrões idênticos observamos que:
\Delta \vec v_1 = -\Delta \vec v_2
\Delta v_1=-0,60\text{ m/s}
\Delta v_2=+0,60\text{ m/s}
Caso 1
Caso 2
\Delta v_1=-0,38\text{ m/s}
\Delta v_2=+0,38\text{ m/s}
\frac{|\Delta \vec v_2|}{|\Delta \vec v_1|}=1
\Delta \vec v_1
\Delta \vec v_2
\Delta \vec v_1
\Delta \vec v_2
A Segunda Lei de Newton
Prendemos dois carros padrões juntos para que o tamanho deste conjunto seja o dobro (d) do tamanho do outro carro padrão (p).
INICIAL
FINAL
v_{p,i} = +0,60\text{ m/s}
v_{d,i} = 0\text{ m/s}
v_{p,f} = -0,20\text{ m/s}
v_{d,f} = +0,40\text{ m/s}
FINAL
INICIAL
\vec v_p
\vec v_d = \vec 0
\vec v_p
\vec v_d
\Delta v_p = -0,80\text{ m/s}
final - inicial
\Delta v_d = +0,40\text{ m/s}
final - inicial
O que significa esse sinal negativo?
O que significa esse sinal negativo?
A Segunda Lei de Newton
Não importa como os carros se movam (ou não se movam) inicialmente, a variação de velocidade do carro duplo é diferente da variação da velocidade do carro padrão.
\vec v_p
\vec v_d = \vec 0
\vec v_p
\vec v_d
\frac{|\Delta v_d|}{|\Delta v_p|}=\frac{1}{2}
A variação de velocidade do carro padrão é negativa.
A variação da velocidade do carro duplo é positiva.
\Delta v_p = -0,80\text{ m/s}
\Delta v_d = +0,40\text{ m/s}
Para o carro duplo a magnitude da variação da velocidade é a metade da magnitude da variação da velocidade do carro padrão.
\Delta \vec v_p \neq \Delta \vec v_d
\Delta \vec v_p
\Delta \vec v_d
A Segunda Lei de Newton
Cortamos um carro padrão ao meio para que o tamanho desta unidade seja a metade (m) do tamanho do outro carro padrão (p).
INICIAL
FINAL
v_p = +0,43\text{ m/s}
v_m = 0\text{ m/s}
v_p =+ 0,14\text{ m/s}
v_m = +0,58\text{ m/s}
FINAL
INICIAL
\Delta v_p = -0,29\text{ m/s}
final - inicial
\Delta v_m = +0,58\text{ m/s}
final - inicial
\vec v_p
\vec v_m
\vec v_p
\vec v_m = \vec 0
A Segunda Lei de Newton
Não importa como os carros se movam (ou não se movam) inicialmente, a variação da velocidade do meio-carro é diferente da variação da velocidade do carro padrão.
\frac{|\Delta v_m|}{|\Delta v_p|}=2
A variação da velocidade do carro padrão é negativa.
A variação de velocidade do meio-carro é positiva.
\Delta v_p = -0,28\text{ m/s}
\Delta v_m = +0,58\text{ m/s}
Para o meio-carro a magnitude da variação da velocidade é o dobro da magnitude da variação da velocidade do carro padrão.
\vec v_p
\vec v_m
\vec v_p
\vec v_m = \vec 0
\Delta \vec v_p \neq \Delta \vec v_m
\Delta \vec v_p
\Delta \vec v_m
A Segunda Lei de Newton
Para dois carros padrões que não são idênticos observamos que:
\Delta \vec v_1 \neq\Delta \vec v_2
Caso 3
Caso 4
\frac{|\Delta \vec v_d|}{|\Delta \vec v_p|}=\frac{1}{2}
\Delta \vec v_p
\Delta \vec v_d
\Delta \vec v_p
\Delta \vec v_m
\Delta v_p = -0,80\text{ m/s}
\Delta v_d = +0,40\text{ m/s}
\Delta v_p = -0,28\text{ m/s}
\Delta v_m = +0,58\text{ m/s}
\frac{|\Delta \vec v_m|}{|\Delta \vec v_p|}=2
\Rightarrow
\Leftarrow
A Segunda Lei de Newton
Para um grupo de objetos todos feitos do mesmo material, é mais difícil mudar o movimento de objetos maiores do que o movimento de objetos menores.
Os objetos maiores colocam mais resistência quando tentamos variar sua velocidade.
Essa tendência de um objeto de resistir a uma variação em sua velocidade é chamada inércia.
A inércia é uma medida da tendência de um objeto a resistir a qualquer variação em sua velocidade.
\text{inércia}\propto \frac{1}{|\Delta v|}
A Segunda Lei de Newton
A razão das inércias dos dois carros é igual ao inverso da razão de suas variações de velocidade.
m_1 \propto \frac{1}{|\Delta v_1|}
\frac{m_2}{m_1} = \frac{|\Delta v_1|}{|\Delta v_2|}
m_2 \propto \frac{1}{|\Delta v_2|}
\Rightarrow
Se
| Experimento | Carro 1 | Carro 2 | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 e 2 | padrão | padrão | 1,0 | 1,0 |
| 3 | padrão | dobro | 2,0 | 0,5 |
| 4 | padrão | metade | 0,5 | 2,0 |
Inércia (\(m\))
Razão das inércias
Razão da variação das velocidades
=m_1/m_2
=m_1/m_2
=m_1/m_2
m_2/m_1
|\Delta v_2|/|\Delta v_1|
Verificamos experimentalmente que existe uma relação entre a inércia e a variação das velocidades:
A Segunda Lei de Newton
A inércia de um objeto é determinada inteiramente pelo tipo de material do qual o objeto é feito e pela quantidade desse material contido no objeto.
A inércia é uma propriedade intrínseca do objeto.
A Segunda Lei de Newton
A inércia de um objeto é representado pelo símbolo m, a massa do objeto.
\text{m}\propto \frac{1}{|\Delta v|}
A aceleração média de cada carrinho é:
a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}
E a razão entre as acelerações são proporcionais a uma constante positiva que depende apenas das partículas e não depende do movimento de cada partícula. A razão é proporcional às massas inerciais, mas em uma razão inversa:
\frac{a_{m,1}}{a_{m,2}}=\frac{\Delta v_1}{\Delta v_2}
\frac{a_{m,1}}{a_{m,2}}=-\frac{m_2}{m_1}
Colisões de curto e longo alcance
A Segunda Lei de Newton
No movimento forçado a interação da partícula A com a partícula B se manifesta pelo fato do corpo sair do Movimento Retilíneo Uniforme.
A Segunda Lei de Newton
Ao produto da massa inercial pela aceleração denominamos por força resultante.
\vec a \propto \vec F
\vec v_f
\vec F_{vc}
m
m
\vec v_i
\vec F_{\text{ por\,você\, na \,caixa}}
Fonte: https://svgsilh.com/
A mudança de movimento (aceleração) é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção da linha reta (direção da força) na qual aquela força é imprimida.
\vec a = \frac{\vec F}{m}
\vec F = m\vec a
Se a massa inercial do objeto é constante (partícula):
\vec F_R=m
\vec a
é chamada de equação de movimento para o objeto porque permite determinar o movimento do objeto.
\vec a
\vec F_{R}
m
A aceleração do objeto pode ser calculada para qualquer tempo t,
\vec a = \frac{\vec F_R}{m}
Por que é importante o estudo das forças?
A Segunda Lei de Newton
A equação de movimento permite obter toda a história do movimento do objeto:
Vamos obter as funções velocidade e posição:
Integrando de uma velocidade inicial em t = 0 a uma velocidade final em t = t:
\vec v_f= \vec v_i+ \frac{\vec F_R}{m}t
\vec x_f= \vec x_i+ \vec v_i t+ \frac{\vec a}{2} t^2
\vec a = \frac{\vec F_R}{m}
\frac{d\vec v}{dt} = \frac{\vec F_R}{m}
d\vec v= \frac{\vec F_R}{m}dt
\int d\vec v= \int \frac{\vec F_R}{m}dt
Reescrevendo:
\frac{dx}{dt}= \vec v_i+ \frac{\vec F_R}{m} t
dx= (\vec v_i+ \frac{\vec F_R}{m} t)dt
\int dx= \int (\vec v_i+ \frac{\vec F_R}{m} t)dt
Integrando de uma posição inicial em t = 0 a uma posição final em t = t:
Por que é importante o estudo das forças?
A Segunda Lei de Newton
Utilizando a definição de aceleração, na segunda lei de Newton para uma massa constante:
\vec F_R=
\frac{d(m\vec v)}{dt}
A Segunda Lei de Newton.
A força resultante sobre uma partícula é igual à taxa de variação do momento linear da partícula (em relação ao tempo).
A Segunda Lei de Newton
\vec F_R=m
\vec a
Definimos o momento linear da partícula como o produto entre a massa inercial e a velocidade da partícula,
\vec F_R=m
\frac{d\vec v}{dt}
\vec p = m\vec v
\vec F_R=
\frac{d\vec p}{dt}
Obdece ao princípio de superposição:
A soma vetorial de todas as forças exercidas em um objeto é igual à taxa de variação no tempo no momento linear do objeto.
\vec F_{1c}+\vec F_{2c}=
Em \(\Delta t = 10\) s, a magnitude da velocidade da caixa é \(\Delta v_c = \frac{F_{Rc}}{m} \Delta t\).
F_{Rc} = +2\text{ N}
\vec F_{Rc}
\sum_{i=1}^n \vec F_{ic} =
=\vec F_{Rc} =
F_{2c} = -8\text{ N}
F_{1c} = +10\text{ N}
\vec F_{1c}
\vec F_{2c}
equivalente
A Segunda Lei de Newton
Ponto de verificação 8.2
8.2 Imagine empurrar uma caixa inicialmente em repouso para que ela comece a se mover ao longo do chão.
(a) Enquanto você coloca a caixa em movimento, aumentando sua velocidade na direção desejada, qual é a direção da soma vetorial das forças exercidas sobre ela?
(b) Suponha que você de repente pare de empurrar e a caixa diminua a velocidade até parar. Enquanto a caixa diminui, qual é a direção da soma vetorial das forças exercidas sobre ela?
(c) Qual é a direção da soma vetorial das forças quando a caixa pára?
A terceira lei de Newton
A toda ação há sempre oposta uma reação igual, ou, as ações mútuas de dois corpos, um sobre o outro, são sempre iguais e dirigidas a partes opostas.
Actioni contrariam semper & aqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aquales & in partes contraria dirigi.
Se você empurrar uma caixa pelo chão, a caixa empurra você com uma força de igual magnitude, na mesma direção e no sentido oposto.
m
\vec F_{\text{ por\,você\, na \,caixa}}
\vec F_{\text{ pela\,caixa\, em \,você}}
Pode um objeto inanimado, como uma caixa, exercer uma força e, se sim, como sabemos que essa força existe? SIM. PODE, pois o objeto se deforma e deformações estão associadas à forças!
A Terceira Lei de Newton
ATENÇÃO. Note que você aplica a força na caixa. A caixa aplica um força em você.
ATENÇÃO. O par de interação atua em objetos diferentes!
Fonte: https://svgsilh.com/
As forças sempre vêm aos pares (reciprocidade da força):
Quando dois objetos interagem, cada um exerce uma força sobre o outro.
m_1=0,12\text{ kg}
m_2=0,24\text{ kg}
v_{12}=0,60\text{ m/s}
A única diferença entre as duas colisões é que a interação é suavizada por uma mola.
v_{12,i}=v_{12,f}
\Delta t = 10\text{ ms}
\Delta t = 1\text{ ms}
sem mola \(\Rightarrow\)
\(\Leftarrow\) com mola
A Terceira Lei de Newton
Ponto de Verificação 8.3
8.3 (a) Verifique se, para ambas as colisões anteriores, o momento linear do sistema de dois carros permanece constante. (b) Verifique se as duas colisões são elásticas.
A variação de momento do carrinho 1 é compensada por uma variação no momento do carrinho 2. Vejamos a interação do sistema isolado dos carros com mola.
\Delta p_{1,c/m}=+0,096\text{ kg.m/s}
F_{\text{por 2 em 1}} = \frac{\Delta p_{1,c/m}}{\Delta t}
=\frac{+0,096\text{ kg.m/s}}{0,010\text{ s}}=+9,6\text{ N}
\Delta p_{2,c/m}=-0,096\text{ kg.m/s}
F_{\text{por 1 em 2}} = \frac{\Delta p_{2,c/m}}{\Delta t}
=\frac{-0,096\text{ kg.m/s}}{0,010\text{ s}}=-9,6\text{ N}
carro 1
carro 2
Sistema Isolado dos carros com mola
\Delta p_{1,c/m}+\Delta p_{2,c/m} = 0
(F_{21}+F_{12})\Delta t=0
F_{21}=-F_{12}
\Rightarrow
\Rightarrow
A reciprocidade da força
\Delta t = 10\text{ ms}
I
\vec F_{21}
\vec F_{12}
Em ambas as colisões a variação de momento do carrinho 1 é compensada por uma variação no momento do carrinho 2. Vejamos a interação do sistema de carros sem mola.
\Delta p_{1,s/m}=+0,096\text{ kg.m/s}
F_{\text{por 2 em 1}} = \frac{\Delta p_{1,s/m}}{\Delta t}
=\frac{+0,096\text{ kg.m/s}}{0,001\text{ s}}=+96\text{ N}
\Delta p_{2,s/m}=-0,096\text{ kg.m/s}
F_{\text{por 1 em 2}} = \frac{\Delta p_{2,s/m}}{\Delta t}
=\frac{-0,096\text{ kg.m/s}}{0,001\text{ s}}=-96\text{ N}
carro 1
carro 2
Sistema Isolado dos carros sem mola
A reciprocidade da força
\Delta t = 1\text{ ms}
\Delta p_{1,s/m}+\Delta p_{2,s/m} = 0
(F_{21}+F_{12})\Delta t=0
F_{21}=-F_{12}
\Rightarrow
\Rightarrow
I
\vec F_{21}
\vec F_{12}
\vec F_{21}=-\vec F_{12}
Sempre que dois objetos interagem, exercem um sobre o outro forças que são iguais em magnitude e direção, mas opostas em sentido.
O par de forças que dois objetos em interação exercem um sobre o outro é chamado par de interação.
A terceira lei de Newton
A conclusão de que objetos em interação exercem forças iguais na mesma direção, mas em sentidos opostos um sobre o outro é um resultado direto da lei da conservação do momento e da nossa definição de força.
\Delta \vec p_{1}+\Delta\vec p_{2} = 0
(\vec F_{21}+\vec F_{12})\Delta t=0
\Rightarrow
\Rightarrow
\vec F_{21}=-\vec F_{12}
não há força externa resultante!
há força internas que são um par de interação!
\vec F_{12}
\vec F_{21}
\vec F_{21}=-\vec F_{12}
Sempre que dois objetos interagem, exercem sobre si forças iguais em magnitude, mas opostas na direção.
(\Delta \vec p_{1}+\Delta\vec p_{2} )= 0
(\vec F_{21}+\vec F_{12})\Delta t=0
(\vec F_{21}+\vec F_{12})=0
A força que Konishiki Yasokichi (b.1963) exerce sobre o menino é a mesma força que o menino exerce sobre Konishiki Yasokichi.
Fonte: https://hipwallpaper.com
A terceira lei de Newton expressa a lei da conservação do momento em termos de forças.
Forças internas não alteram o momento linear do sistema.
A terceira lei de Newton
\Delta t \neq 0
Exemplo 1
Considerar a situação em que três cordas são amarradas em um ponto comum, com uma equipe puxando cada corda. Suponha que a equipe 1 esteja puxando para o oeste com uma força de 2750 N, e que a equipe 2 esteja puxando para o norte com uma força de 3630 N. Uma terceira equipe pode puxar de tal forma que o cabo de guerra com três equipes termine empatado, ou seja, nenhuma equipe consiga mover a corda? Se sim, qual é o módulo e o sentido da força necessária para realizar isso?
Exemplo 2
Um ginasta de massa 55 kg está pendurado verticalmente em um par de argolas paralelas. Se as cordas que sustentam as argolas são verticais e presas a teto diretamente acima, qual é a tensão em cada corda?
Exemplo 3
Que força precisamos aplicar à extremidade livre da corda 1 para manter o sistema em equilíbrio estático?
Exemplo 4
Um praticante de skibunda (massa de 72,9 kg, altura de 1,79 m) está descendo uma montanha de areia com um ângulo de 22° em relação à horizontal. Se pudermos desprezar o atrito, qual é sua aceleração?
Exemplo 5
Neste problema clássico, uma massa pendurada gera uma aceleração para uma segunda massa sobre uma superfície horizontal (Figura). Um bloco, de massa m1, está sobre uma superfície horizontal sem atrito e é conectado por meio de uma corda sem massa (por questão de simplicidade, orientada no sentido horizontal) que passa sobre uma polia sem massa para outro bloco, com massa m2, pendurada na corda.
Exemplo 6
A máquina de Atwood consiste em dois pesos pendurados (com massas m1 e m2) conectados por uma corda que passa por uma polia. Por enquanto, consideramos um caso sem atrito, em que a polia não se move e a corda desliza sobre ela. Também pre- sumimos que m1 > m2. Neste caso, a aceleração é conforme mostrada na Figura.
Exemplo 7
Um elevador tem massa de 358,1 kg, e a massa combinada das pessoas dentro dele é de 169,2 kg. O elevador é puxado para cima por um cabo, com aceleração constante de 4,11 m/ s2. Qual é a tensão no cabo?
O atrito
A força de atrito é observada enquanto o objeto não se move e também ao entrar em movimento.
Antes do movimento há o regime da Força de Atrito de Estático:
F_{at,e}\leq\mu_eN
O valor máximo da força de atrito estático é \(\mu_e N\) e ocorre na iminência do movimento.
Força de atrito estático e cinético
Após o movimento há o regime da Força de Atrito Cinético:
F_{at,c}=\mu_cN
O coeficiente de atrito cinético é menor do que o coeficiente de atrito estático (\(\mu_c < \mu_e\)) e ambos dependem das superfícies em contato.
Devido as superfícies em contato a força de atrito se ajusta à força aplicada. Um gráfico típico da força de atrito pela força aplicada é observado abaixo.
Força de atrito estático e cinético
A força atrito se opõe à velocidade relativa entre as superfícies.
Forças de atrito
Fonte: https://www.gratispng.com
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Fonte: Chabay & Sherwood
\vec F^c_{bs}
\vec F^c_{sb\|}
\vec F^c_{sb,x}
\vec F^c_{mb}
\vec a = \vec 0
\vec F^c_{sb,x}
\vec F^c_{mb}
\vec a = \vec 0
\vec F^c_{sb,x}
\vec F^c_{mb}
\vec a = \vec 0
Esse atrito exercido por superfícies que não se movem em relação uma a outra é chamado atrito estático.
(estático)
\vec F_{at,e} \equiv \vec F^c_{sb,x}
A força atrito se opõe à velocidade relativa entre as superfícies.
Forças de atrito
Fonte: https://www.gratispng.com
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Fonte: Chabay & Sherwood
\vec F^c_{bp}
\vec F^c_{pb,x}
\vec F^c_{sb,x}
\vec F^c_{mb}
\vec a = \vec 0
Esse atrito exercido por superfícies que se movem em relação uma a outra é chamado atrito cinético.
\vec F_{Ro,x}=m_b \vec a
\vec F^c_{mb}
\vec F^c_{sb,x}
\vec a \neq \vec 0
A força de atrito cinético é menor do que a força de atrito estático.
(cinético)
\vec F_{at,c} \equiv \vec F^c_{sb,x}
\mu_c < \mu_e
É necessário uma força duas vezes maior para começar a deslizar dois blocos do que o um bloco.
\vec F^c_{mb}
\vec F^c_{mb}
\vec v
\cdot
\vec v
A área de contato entre o tijolo e a placa será determinada pela área da superfície da face do tijolo que está tocando a placa.
Quando a carga aumenta, as saliências nas superfícies ficam achatadas e a área de contato efetiva aumenta, fortalecendo a ligação entre as superfícies.
PORÉM...
Coeficientes de atrito cinético
As medições mostram que o ângulo \(\theta_{max}\) no qual os objetos começam a deslizar em uma inclinação (a força do atrito estático atinge seu valor máximo) não depende da área de contato.
Os dois tijolos idênticos começam a deslizar no mesmo ângulo de inclinação, independentemente da área de contato entre o tijolo e a superfície do declive.
Face maior: a força exercida pelo tijolo na superfície inclinada é espalhada por um grande número de pontos de contato, com a área de contato efetiva com um determinado valor.
Face menor: há menos pontos de contato, mas agora cada ponto carrega uma parcela maior da carga e achata mais e aumenta a área de contato disponível em cada ponto.
A área de contato efetiva é a mesma.
Não depende da orientação do tijolo.
Coeficientes de atrito cinético
A força de atrito estático exercida por uma superfície em um objeto é proporcional à força com que o objeto pressiona a superfície e não depende da área de contato.
Para quaisquer duas superfícies 1 e 2:
F_{at,e} \leq \mu_e N
A magnitude máxima da força de atrito estático entre duas superfícies é proporcional à magnitude da força normal exercida pelas superfícies uma sobre a outra.
F_{at,max} = \mu_e N
\theta
\vec v
\cdot
x
y
\vec F^G_{Tb}
\vec F^G_{Tb,y}
\vec F^G_{Tb,x}
\vec N
\vec F_{at,e}
\vec F^c_{sb}
Plano inclinado
A força de atrito cinético exercida por uma superfície em um objeto é proporcional à força com que o objeto pressiona a superfície e não depende da área de contato.
Para quaisquer duas superfícies 1 e 2:
F_{at,c} = \mu_c N
\vec a
\theta
x
y
\vec F^G_{Tb}
\vec F^G_{Tb,y}
\vec F^G_{Tb,x}
\vec N
\vec F_{at,c}
\vec F^c_{sb}
A força atrito cinético entre duas superfícies é proporcional à magnitude da força normal exercida pelas superfícies uma sobre a outra.
F_{at,c} = \mu_c N
Plano inclinado
As forças sobre um bloco sobre um plano que pode ser inclinado.
As forças exercidas no bloco são a força gravitacional e a força de contato.
Plano inclinado
Exemplo 8
Vamos reconsiderar a situação do praticante de skibunda do exemplo 4, mas agora incluímos o atrito. Um praticante de skibunda desce uma montanha com θ = 22°. Suponha que o coeficiente de atrito cinético entre sua prancha e a neve seja de 0,21, e sua velocidade, que é no sentido da montanha, é de 8,3 m/s em um determinado instante.
- Presumindo uma inclinação constante, qual será a velocidade da pessoa no sentido da montanha após ter percorrido 100 m?
- Quanto tempo leva para que o praticante de snowboard atinja sua velocidade?
- Dado o mesmo coeficiente de atrito, qual teria que ser o ângulo da montanha para que a pessoa deslizasse com velocidade constante?
Exemplo 9
O coeficiente de atrito estático entre o bloco 1 (massa m1 = 2,3 kg) e sua superfície de apoio tem um valor de 0,73, e o coeficiente de atrito cinético tem um valor de 0,60. Se o bloco 2 tem massa m2 = 1,9 kg, o bloco 1 acelerará a partir do repouso?
Exemplo 10
Dois blocos retangulares estão empilhados sobre uma mesa, conforme mostra a Figura. O bloco de cima tem massa de 3,40 kg, e a massa do bloco de baixo é de 38,6 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de baixo e a mesa é 0,260. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é 0,551. Um barbante é preso ao bloco de baixo, e uma força externa é aplicada horizontalmente, puxando o barbante conforme mostrado. Qual é a força máxima que pode ser aplicada ao barbante sem que o bloco de cima deslize?
FM - Aula 07
By Ronai Lisboa
FM - Aula 07
Dinâmica. As Leis de Newton. Aplicações das leis de Newton: peso, planos inclinados, cordas, polias.
