Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Tópico 3
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Dado um gráfico, como obter uma função?
Como construir gráficos a partir de dados?
Como interpretar os parâmetros de uma função?
Regressão linear
A equação da reta
Quando os dados experimentais se aproximam de uma reta, a regressão linear é fácil:
Y=b0+b1X
Y = b_0 +b_1X
O coeficiente linear previsto para a regressão é:
b0=1,1
b_0 = 1,1
A inclinação prevista para a regressão é:
b1=0,57
b_1 = 0,57
Fonte: https://phet.colorado.eduAs unidades físicas de b0 e b1 dependem das dimensões das grandezas físicas Y e X.
Regressão linear
Uma função potência
Quando os dados experimentais se aproximam de uma função potência? Como linearizá-la?
y=βxα
y = \beta x^{\alpha}
→
\rightarrow
A função desejada.
Quais os valores de α e β que fazem a curva se aproximar dos pontos experimentais?
Y=b1X+b0
Y = b_1 X+b_0
y=βxα
y = \beta x^{\alpha}
Y=log(y)
Y=\log(y)
X=log(x)
X=\log(x)
Uma ideia é fazer uma troca de variáveis:
log(y)=log(βxα)
\log(y) = \log(\beta x^{\alpha})
log(y)=αlog(x)+log(β)
\log (y) = \alpha\log (x)+\log(\beta)
Y=b1X+b0
Y = b_1 X+b_0
b1=α
b_1=\alpha
b0=logβ
b_0=\log \beta
Com essa transformação:
Regressão linear
Uma função potência
Uma vez linearizada, procede-se os cálculos dos parâmetros da regressão linear previstos: b0,b1.
Y=b1X+b0
Y = b_1 X+b_0
Observe as transformações.
Y=log(y)
Y = \log(y)
Dados originais
Dados linearizados
X=log(x)
X= \log(x)
Y=b1X+b0
Y = b_1 X+b_0
b0=1,51
b_0=1,51
Y=b1X+b0
Y = b_1 X+b_0
b1≡ΔXΔY=0,714
b_1 \equiv \frac{\Delta Y}{\Delta X}=0,714
A função linear.
Visualmente é fácil obter de b0 e b1 a partir da reta.
Regressão linear
Uma função potência
Mas não é a função lienar que desejamos. Nós queremos a função potência.
Sabendo que:
y=βxα
y = \beta x^{\alpha}
Y=b0+b1X
Y = b_0 + b_1 X
b0=logβ
b_0 = \log \beta
b1=α
b_1 = \alpha
β=10b0=101,51=32,2
\beta = 10^{b_0} = 10^{1,51}=32,2
α=0,714
\alpha = 0,714
Obtemos a função (modelo) para os dados experimentais:
y=32,2x0,714
y = 32,2 x^{0,714}
A função potência.
Encontramos a curva (modelo) que se aproxima dos dados experimentais.
Regressão linear
Uma função potência
Como avaliar as unidades dos parâmetros?
Suponha que a grandeza y seja massa de alguma coisa, em gramas:
y
y
→g
\rightarrow g
→[M]
\rightarrow [M]
E a grandeza x seja o tempo de alguma coisa, em segundos:
x
x
→s
\rightarrow s
→[T]
\rightarrow [T]
y=32,2x0,714
y = 32,2 x^{0,714}
Se a função é:
Quais as unidades e dimensões de (32,2) e (0,714)?
Se o lado esquerdo y é massa. O lado direito deve ser massa.
y=32,2x0,714
y = 32,2 x^{0,714}
[M]=32,2[T]0,714
[M] = 32,2 [T]^{0,714}
O expoente (argumento de x) não tem dimensão.
A dimensão de β=32,2 deve ser:
32,2=[M][T]−0,714
32,2=[M] [T]^{-0,714}
Então,
β=32,2g.s−0,714
\beta = 32,2\, g . s^{-0,714}
Regressão linear
Arumentos de funções não devem ter dimensão.
cos(kx)
\cos(k x)
Se a dimensão de x é [L], a dimensão de k é [L]−1.
exp(λt)
\exp( \lambda t)
Se a dimensão de t é [T], a dimensão de λ é [T]−1.
log(x)
\log( x)
Aqui, x deve ser um número sem dimensão.
y=Aexp(kx+λt)
y=A\exp(kx+ \lambda t)
Se, y tem dimensão de [L], a dimensão de A é [L]−1.
O argumento kx+λt não tem dimensão, mas cada parâmetro e variável têm suas dimensões.
Regressão linear
Os limites da inteligência
Leis da física podem impedir que o cérebro humano evolua tornando-se uma máquina de pensar ainda mais poderosa
Independente de serem mais inteligentes, os animais grandes geralmente têm cérebro maior. O tamanho do cérebro, no entanto, não aumenta a uma taxa fixa, mas à potência de 75% da massa do corpo, uma lei que na escala logarítmica é representa por uma linha reta.
Massa corporal (kg)
Massa cerebral (g)
Quais as unidades de B e a?
Regressão linear
Uma função inversa
Quando os dados experimentais se aproximam de uma função inversa? Como linearizá-la?
yx=c
yx = c
Y=b0+b1X
Y = b_0 + b_1 X
Uma ideia é fazer uma troca de variáveis:
ln(yx)=lnc
\ln (yx) = \ln c
lny=−lnx+lnc
\ln y= - \ln x + \ln c
Y=b1X+b0
Y = b_1 X+b_0
Com essa troca de variáveis:
Y=ln(y)
Y=\ln(y)
X=ln(x)
X=\ln(x)
b1=−1
b_1=-1
b0=lnc
b_0=\ln c
A função desejada.
Qual o valor de c que fazem a curva se aproximar dos pontos experimentais?
Regressão linear
Uma função inversa
Uma vez linearizada, procede-se os cálculos dos parâmetros da regressão linear previstos: b0,b1.
Y=b1X+b0
Y = b_1 X+b_0
Observe as transformações.
Y=ln(y)
Y = \ln(y)
Dados originais
Dados linearizados
X=ln(x)
X= \ln(x)
Y=b1X+b0
Y = b_1 X+b_0
b0=1,09
b_0=1,09
Y=b1X+b0
Y = b_1 X+b_0
b1≡ΔXΔY=−1
b_1 \equiv \frac{\Delta Y}{\Delta X}=-1
A função linear.
Visualmente é fácil obter de b0 e b1 a partir da reta.
Regressão linear
Uma função inversa
Mas não é a função linear que desejamos. Nós queremos a função inversa.
Sabendo que:
y=xc
y =\frac{c}{x}
Y=b0+b1X
Y = b_0 + b_1 X
b0=lnc
b_0 = \ln c
b1=−1
b_1 = -1
c=eb0=e1,09=2,97
c = e^{b_0}=e^{1,09}=2,97
b1=−1
b_1 = -1
Obtemos a função (modelo) para os dados experimentais:
y=x2,97
y =\frac{2,97}{x}
A função inversa.
Encontramos a curva (modelo) que se aproxima dos dados experimentais.
Regressão linear
Uma função inversa
Como avaliar as unidades dos parâmetros?
Suponha que a grandeza y seja a pressão de alguma coisa, em pascal 1Pa=N/m2=kg/(m.s2):
y
y
→ms2kg
\rightarrow \frac{kg}{ms^2}
→[L][T]2[M]
\rightarrow\frac{ [M] }{[L][T]^2}
E a grandeza x seja o volume de alguma coisa, em metros cúbicos:
x
x
→m3
\rightarrow m^3
→[L]3
\rightarrow [L]^3
Se a função é:
Quais as unidades e dimensões de (2,97)?
y=x2,97
y =\frac{2,97}{x}
Se o lado esquerdo y é pressão. O lado direito deve ser pressão.
[L][T]2[M]=[L]32,97
\frac{ [M] }{[L][T]^2}=\frac{2,97}{[L] ^3}
A dimensão de c=2,97 deve ser:
2,97=[T]2[M][L]2
2,97=\frac{ [M] [L]^2 }{[T]^2}
Então,
c=2,97s2kg.m2
c = 2,97\frac{kg.m^2}{s^2}
y=x2,97
y =\frac{2,97}{x}
c=2,97N.m
c = 2,97\,N.m
c=2,97J
c = 2,97J
Regressão linear
Uma função inversa
Dada a equação, se y é pressão e x é volume:
Se c=2,97J, então o produto PV tem unidade de energia, isto é, joule J.
yx=c
yx=c
y=xc
y=\frac{c}{x}
P=Vc
P=\frac{c}{V}
A pressão varia de forma inversa ao volume. Essa é uma lei da termodinâmica (Lei de Boyle).
PV=c
PV={c}
A constante c=NRT, onde N é o número de moléculas, R é a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta. Esse produto tem a unidade de energia, joule.
Fonte: https://www.geogebra.orgRegressão linear
A regressão linear é uma técnica estatística usada para modelar a relação entre uma variável dependente e uma ou mais variáveis independentes.
O objetivo é encontrar a linha reta (ou plano, no caso de múltiplas variáveis) que melhor se ajusta aos dados.
Regressão linear
As planilhas possuem alguma funções embutidas que permitem obter os parâmetros das funções (modelos), mas elas não lhe dirão quais as dimensões dessas unidades. Nesses casos não é necessário fazer a regressão, pois as funções existem.
Quando você quiser fazer uma análise de dados e a função não existir na planilha, você deve fazer a regressão linear, como apresentado nos dois exemplos desse tópico da aula.
As planilhas eletrônicas como Excel e Google Planilhas permitem fazer algumas regressões lineares. Você aprenderá isso profundamente em MMF2.
Regressão linear
Caso queira usar planilhas eletrônicas para entregar as atividades propostas, eu recomendo o tutorial apresentado nos vídeos abaixo (Prof. Pedro / ECT: LINK)
O professor Pedro fez ajustes de funções que existem no Excel e Google Planilhas.
A linearização serve para funções que não existem.
Tópico 3 Fundamentos da Mecânica Prof. Ronai Lisbôa Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
FM - Tópico 3
By Ronai Lisboa
FM - Tópico 3
Gráficos. Regressão Linear. Planilhas eletrônicas
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