二元索引樹
Binary Indexed Tree
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內容大綱
Ruby@NTUIM
實際應用
運作方式
運作原理
程式實作
二元索引樹
Ruby@NTUIM
實際應用
二元索引樹
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
前綴和 Prefix Sum
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 6 | 9 | 2 |
|---|
Naive
\text{O}(n)
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
前綴和 Prefix Sum
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 6 | 9 | 2 |
|---|
7
12
20
23
19
25
34
36
Accumulative
\text{O}(1)
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二元索引樹 > 實際應用
區間和 Range Sum
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 6 | 9 | 2 |
|---|
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
區間和 Range Sum
| 7 | 12 | 20 | 23 | 19 | 25 | 34 | 36 |
|---|
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 6 | 9 | 2 |
|---|
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
發現問題
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 6 | 9 | 2 |
|---|
| 7 | 12 | 20 | 23 | 19 | 25 | 34 | 36 |
|---|
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
發現問題
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 9 | 2 |
|---|
16
| 7 | 12 | 20 | 23 | 19 | 25 | 34 | 36 |
|---|
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
發現問題
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 9 | 2 |
|---|
16
| 7 | 12 | 20 | 23 | 19 |
|---|
25
34
36
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
發現問題
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 9 | 2 |
|---|
16
| 7 | 12 | 20 | 23 | 19 |
|---|
35
34
36
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
發現問題
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 9 | 2 |
|---|
16
| 7 | 12 | 20 | 23 | 19 |
|---|
35
44
36
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
發現問題
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 9 | 2 |
|---|
16
| 7 | 12 | 20 | 23 | 19 |
|---|
35
44
46
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
單點修改 Point Update
| 7 | 5 | 8 | 3 | -4 | 9 | 2 |
|---|
16
| 7 | 12 | 20 | 23 | 19 |
|---|
35
44
46
\text{O}(n)
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 實際應用
解決方案 Solution
二元索引樹
Binary Indexed Tree
-
Prefix Sum Quries
-
Point Updates
-
Range Updates
-
Constrution
\text{O}(\log n)
\text{O}(\log n)
\text{O}(\log n)
\text{O}(n\log n)
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實際應用
二元索引樹
內容大綱
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實際應用
運作方式
運作原理
程式實作
二元索引樹
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運作方式
二元索引樹
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二元索引樹 > 運作方式
前綴和查詢 Prefix Sum Quries
\text{令 }\mathbf A\text{ 為一數列} \\
\text{令 }S_n\text{ 為 }\mathbf A\text{ 前 }n\text{ 項和 } \\
S_n=\sum\limits_{i=1}^n \mathbf A_i \\
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二元索引樹 > 運作方式
前綴和查詢 Prefix Sum Quries
\text{給定一棵基於 }\mathbf A\text{ 的所建構的二元索引樹，則} \\
S_n=\text{「第 N 號節點至根節點之路徑權重總和」} \\
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 運作方式
前綴和查詢 Prefix Sum Quries
\text{令 }\mathbf{BIT}\text{ 一棵基於 }\mathbf A\text{ 建構之二元索引樹} \\
\mathbf{BIT}_i\text{ 為第 } i \text{ 號節點之權重}
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 運作方式
前綴和查詢 Prefix Sum Quries
S_2=\mathbf{BIT}_2
S_5=\mathbf{BIT}_5+\mathbf{BIT}_4
S_{11}=\mathbf{BIT}_{11}+\mathbf{BIT}_{10}+\mathbf{BIT}_8
S_{12}=\mathbf{BIT}_{12}+\mathbf{BIT}_8
S_{15}=\mathbf{BIT}_{15}+\mathbf{BIT}_{14}+\mathbf{BIT}_{12}+\mathbf{BIT}_8
S_7=\mathbf{BIT}_7+\mathbf{BIT}_6+\mathbf{BIT}_4
S_n=\text{「第 N 號節點至根節點之路徑權重總和」}
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二元索引樹 > 運作方式
單點修改 Point Updates
\text{若修改 }\mathbf A_i\text{ 則要對 }\mathbf{BIT}\text{ 第 }i\text{ 之右兄弟節點及其父節點之右兄弟節點}
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二元索引樹 > 運作方式
建構 Construction
1. 將 BIT 始化所有節點初始化為 0
2. 對陣列的每個位置作單點更新
\text{O}(n\log n)
複雜度分析：
共 n 次更新、每次更新 O(log n)
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二元索引樹 > 運作方式
建構 Construction
Construction in linear time
\text{O}(n)
Credits @WilliamFiset
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運作方式
二元索引樹
內容大綱
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實際應用
運作方式
運作原理
程式實作
二元索引樹
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運作原理
二元索引樹
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二元索引樹 > 運作原理
16 10000
15 01111
14 01110
13 01101
12 01100
11 01011
10 01010
9 01001
8 01000
7 00111
6 00110
5 00101
4 00100
3 00011
2 00010
1 00001
前綴和查詢 Prefix Sum Quries
1. 節點編號 Least Significant Bit
= 該節點負責區間之長度
2. 負責區間從自己本身往下數
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二元索引樹 > 運作原理
16 10000
15 01111
14 01110
13 01101
12 01100
11 01011
10 01010
9 01001
8 01000
7 00111
6 00110
5 00101
4 00100
3 00011
2 00010
1 00001
單點修改 Point Updates
Ruby@NTUIM
運作原理
二元索引樹
內容大綱
Ruby@NTUIM
實際應用
運作方式
運作原理
程式實作
二元索引樹
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程式實作
二元索引樹
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二元索引樹 > 程式實作
儲存方式 Array-based
N = 16
BIT = [ 0 ] * N因此，BIT 很適合以「陣列」形式儲存
觀察：
一個基長度為 N 之陣列所建構的 BIT 必恰有 N 個節點，
且母節點與子節點之間編號關係明確。
Pseudo Code:
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二元索引樹 > 程式實作
前綴和查詢 Prefix Sum Quries
def query(i):
sum = 0
while i > 0:
sum += BIT[i]
i -= lsb(i)
return sum流程：
將索引值持續減去其本身的 Least Significant Bit，
並將所有經過節點權重相加，直到索引值被減至 0 為止。
Pseudo Code:
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 程式實作
def update(i, delta):
while i <= N:
BIT[i] += delta
i += lsb(i)流程：
將索引值持續加上其本身的 Least Significant Bit，
並將所有經過節點更新，直到索引值被加至超過 N 為止。
Pseudo Code:
單點修改 Point Updates
Ruby@NTUIM
二元索引樹 > 程式實作
def lsb(x):
return x & -x觀念：
要取得最小位元最簡單的方法是取 x 和 -x 的 bitwise and。
因為 -x 是 x 的補數 + 1 (Two's Complement)。
Pseudo Code:
二進制最小位元 Least Significant Bit
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二元索引樹 > 程式實作
完整範例程式碼 Example Code
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二元索引樹 > 程式實作
推薦資源 Recommended Resources
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程式實作
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實際應用
運作方式
運作原理
程式實作
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