海之音
INFOR 36th 學術長 @小海_夢想特急_夢城前
複雜度
Complexity
目錄
定義/概念
Definition
程式的好壞
一份程式的好壞有很多面向
- 運行時間
- 占用記憶體
- 可讀性
如何評估？
運行時間
手動計時 / 引用時間函式庫進行測量？
import time
time_start = time.time()
# 執行程式
time_end = time.time()
print(time_end - time_start)變因過多（電腦效能等）
需要實際測量才能得知
運行時間
假設「基礎運算」運行時間為一單位時間
a = 1;
a += 3;- 宣告 = 賦值 = 運算 ... 皆為一單位時間
將時間表示成相關因素（e.g. 輸入量）的函數 T(n)
- 對「基礎運算」的定義？
- 程式很長？
粗略估計
考慮將 T(n) 以更簡單的方式描述
- 將 T(n) 分類
- n 足夠大時，兩個函式有差不多的趨勢
- n 很大時，運行時間比值是一個常數
\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = C
- 數學
範例
- 顯然我們有 同一類
- 一樣顯然 同類
- 同類？
- 換個更精確的說法， 的級別小於或等於
- 幫這些類別取名
f(n) = 2,\ g(n) = 1
f(n)=2n+1,\ g(n)=n
f(n)=n,\ g(n)=n^2
f
g
大O符號
- 規範一個集合，將所有符合 的函數 規範在 內
- 用等於不用屬於也行
- 規範了函數的上界
- 忽略係數、「剩餘項」作為代表
f
O(g(x))
f(x)\in O(g(x))
\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = C
什麼是剩餘項？
讓我們開啟 Geogebra 來觀察一下
x^2\\
x \\
log(x) \\
2^x \\
x\ log(x) \\
x!
它們在 x 很大時的表現如何
所以，省略剩餘項？
- 在函數中，每一項可以依照大小關係排序
- 在 大 O 記號 中，我們只保留最大的那項
- 記得忽略前面的係數
複雜度
- 歸納函數類別的方法應用在分析程式上，將 T(n) 歸類，就可以將程式的時間和資料關係歸納出來
- 歸納方法不同符號不同，常見的還有
- 提供程式運行時間、空間等估計的依據
\Theta
分析方法
Algorithm Analysis
複雜度分析
- 「抓個大概就好」
- 分析的過程可以忽略最高項以外的其他項
- 常見複雜度：
- 常數時間
- 對數時間
- 線性時間
- 線性對數時間
- 各種冪次
- 指數時間
O(1)
O(log\ n)
O(n)
O(n\ log\ n)
O(n^2),\ O(n^3)...
O(2^n),\ O(3^n)...
練習
a = 0
for i in range(1, n + 1):
a += i
print(a)練習
a = 0
for i in range(1, 2 * n + 1):
a += i
print(a)練習
a = a * (a + 1) // 2
print(a)練習
a = n
while a != 1:
a //= 2@演算法放課社員
def fast_pow(a: int, n: int) -> int:
if n == 0:
return 1
temp = fast_pow(a, n // 2)
if n % 2 == 0:
return temp * temp
else
return a * temp * temp@通靈
a = int(input())
n = int(input())
print(a ** n)@通靈
a = float(input())
n = float(input())
print(a ** n)一般來說， C++ 每秒可以跑 1e8 ~ 1e9 (約 3e8)
Python 可能 1e7 或以下(?
常見複雜度對應到時限一秒
| 複雜度 | 範圍 |
|---|---|
| 10~12 | |
| 20~23 | |
| 24~28 | |
| 500~600 | |
| 5000~6000 | |
| 5e3~1e4 |
O(n!)
O(2^n)
O(n2^n)
O(n^3)
O(n^2log\ n)
O(n^2)
| 複雜度 | 範圍 |
|---|---|
| 1e5~5e5 | |
| 5e5~6e5 | |
| 1e6~2e6 | |
| (輸入) | 1e6~1e7 |
| (不含) | 1e7~3e8 |
| 1e18 |
O(n\ log^2n)
O(n)
O(n\ log\ n)
O(n\sqrt n)
O(n)
O(log\ n)
實際上因為常數關係，經驗成分居多(
一些延伸
理論計算機科學
大社[?] - 複雜度
By 海之音
大社[?] - 複雜度
資訊社社課[?]
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