10/26

SCC & BCC

Copied from Eric Xiao

關節點

拔掉之後會使整張圖不連通的點

DFS樹

找關節點

因為DFS樹子樹之間不會相連

(會相連就會屬於同一子樹)

所以樹根只要有兩個以上的子樹，就是關節點

找關節點

點p的每個子孫都有back edge可以連到p的祖先

該點就不是關節點

反之若有一個子孫沒有back edge連到p的祖先，該點就是關節點

實作方式

一邊DFS一邊記錄每個點的low值跟vis值

vis值就是DFS順序編號

low值：DFS樹中以某個節點為根的子樹

透過走最多一條back edge(tree edge不限)能走到的最小前序編號

int cnt = 0;
vector<int> G[MAXN];
int vis[MAXN], low[MAXN], iscut[MAXN];
void DFS(int u, int p) {
    low[u] = vis[u] = ++cnt; // low至多是自己
    int child = 0;
    for(auto v : G[u]) {
        if(!vis[v]) {
            child++;
            DFS(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if(low[v] >= vis[u]) iscut[u] = 1; // 有子樹回不去
        }
        else if(vis[v] < vis[u] && v != p) {
            low[u] = min(low[u], vis[v]); // back edge
        }
    }
    if(p <= 0 && child == 1) iscut[u] = 0;
}

橋

拔掉之後會使整張圖不連通的邊

怎麼找？

一樣low值

找橋

若點p有一個子孫沒有back edge能連到p或p的祖先，則p到該子樹的邊就是橋

int cnt = 0;
vector<int> G[MAXN], isbridge[MAXN];
int vis[MAXN], low[MAXN], iscut[MAXN];
void DFS(int u, int p) {
    low[u] = vis[u] = ++cnt;
    int child = 0;
    for(int i = 0;i < G[u].size();i++) {
    	int v = G[u][i];
        if(!vis[v]) {
            child++;
            DFS(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if(low[v] > vis[u]) isbridge[u][i] = 1;
            // 沒有等號 因為回的到v的話就切不斷(?)
        }
        else if(vis[v] < vis[u] && v != p) {
            low[u] = min(low[u], vis[v]);
        }
    }
}

BCC

~~Broadcasting Corporation of China~~

邊雙連通分量

就是沒有橋的一坨連通的東西QQ

怎麼找？

找邊雙連通分量

很顯然先找到橋

然後拔掉

然後再對整張圖DFS一次

或是在DFS的時候不要把橋當邊(?)

BCC(1)

~~Broadcasting Corporation of China~~

點雙連通分量

一張圖點雙連通的極大子圖

怎麼找？

找點雙連通分量

每條邊只屬於一個點雙連通分量

貌似要用stack維護某些東西

https://pastebin.com/MDsuyFJM

Code by Eric Xiao

SCC

有向圖的強連通分量

was ist SCC

任何點都可以走到任何點的最大子圖

Kosaraju演算法

Step 1.

把原圖的所有邊倒過來

在新圖上DFS，記錄離開每個子點的時間。

Kosaraju演算法

Step 2.

在原圖上越晚離開的先DFS

每次DFS可以走到的節點即屬於同一個SCC。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

vector<int> adj[100000];
vector<int> rev[100000];
vector<int> SCC[100000];
int vis[1000000];
vector<int> W;

void dfs1(int n) {
    vis[n] = 1;
    for(auto i: rev[n]) {
        if(!vis[i]) dfs1(i);
    }
    W.push_back(n);
}

int cnt;
void dfs2(int n) {
    vis[n] = 1;
    BCC[cnt].push_back(n);
    for(auto i: adj[n]) {
        if(!vis[i]) dfs2(i);
    }
}

signed main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i=0;i<m;i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        adj[a].push_back(b);
        rev[b].push_back(a);
    }
    for(int i=0;i<n;i++) dfs1(i);
    for(int i=0;i<n;i++) vis[i] = 0;
    reverse(W.begin(), W.end());
    for(auto i: W) {
        dfs2(i), cnt++;
    }
    // 
}