Muutosnopeus
100
\(x\) (h)
\(y\) (km)
1
50
2
A
B
Kummalla matkustajista A ja B on suurempi keskinopeus aikavälillä
a) 0-1h b) 1-2h?
a) Piirretään suorat kohdissa \(x=0\) ja \(x=1\) olevien kuvaajien pisteiden kautta. Matkustajaa A vastaava suora vaikuttaa olevan jyrkempi, joten hänen keskinopeus on välillä 0-1 suurempi.
100
\(x\) (h)
\(y\) (km)
1
50
2
A
B
Kummalla matkustajista A ja B on suurempi keskinopeus aikavälillä
a) 0-1h b) 1-2h?
b) Piirretään suorat kohdissa \(x=1\) ja \(x=2\) olevien kuvaajien pisteiden kautta. Matkustajaa B vastaava suora vaikuttaa nyt olevan jyrkempi, joten hänen keskinopeus on välillä 1-2 suurempi.
100
\(x\) (h)
\(y\) (km)
1
50
2
A
B
Kuinka suuret ovat A:n ja B:n keskinopeudet aikavälillä 1-2h?
Lasketaan suorien kulmakertoimet
A: \(k=\dfrac{100-50}{2-1}=\dfrac{50}{1}=50\) (km/h)
(1, 25)
(2, 100)
(1, 50)
B: \(k=\dfrac{100-25}{2-1}=\dfrac{75}{1}=75\) (km/h)
\(x\)
\(y\)
\(x_1\)
\(x_2\)
\((x_1,f(x_2))\)
\((x_1,f(x_1))\)
Funktion \(f\) keskimäärinen muutosnopeus välillä \([x_1,x_2]\) on pisteiden \((x_1,f(x_1))\) ja \((x_2,f(x_2))\) kautta kulkevan suoran kulmakerroin.
\(y=f(x)\)
(Kuvaajan kahden pisteen kautta kulkevaa suoraa kutsutaan sekantiksi.)
100
\(x\) (h)
\(y\) (km)
1
50
2
A
Kuinka suuri oli matkustajan A hetkellinen nopeus ajanhetkellä \(1\) h?
Piirretään kuvaajalle tangenttisuora kohtaan \(x=1\), etsitään suoralta kaksi pistettä ja lasketaan suoran kulmakerroin
\((1,50)\)
\((1{,}5;100)\)
\(k=\dfrac{100-50}{1{,}5-1}=\dfrac{50}{0{,}5}=100\) (km/h)
\(x\)
\(y\)
\(c\)
\(y=f(x)\)
Funktion \(f\) hetkellinen muutosnopeus kohdassa \(x=c\) on funktion \(f\) kuvaajalle kohtaan \(x=c\) piirretyn tangenttisuoran kulmakerroin \(k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).
\(\Delta x\)
\(\Delta y\)
Piirrä geogebraan funktion \(g(x)=2x^4-5x^3+x+1\) kuvaaja.
Määritä
a) funktion keskimäärinen muutosnopeus välillä \([1,2]\)
b) funktion hetkellinen muutosnopeus kohdassa \(x=0\)
a) -4 b) 1
a)
1. Lisää kuvaajalle pisteet kohtiin \(x=1\) ja \(x=2\)
2. Piirrä suora pisteiden kautta
3. Paina suoran yhtälöä oikealla ja valitse muodoksi \(y=mx+b\).
4. Lue yhtälöstä suoran kulmakerroin.
b)
1. Lisää kuvaajalle piste kohtaan \(x=0\)
2. Lisää pisteen kautta kulkeva tangenttisuora
3. Paina tangenttisuoran yhtälöä oikealla ja valitse muodoksi \(y=mx+b\)
4. Lue yhtälöstä suoran kulmakerroin.
Vaihtoehtoisesti kulmakertoimen voi selvittää myös valitsemalla kulmakerrointyökalun ja klikkaamalla suoraa
04 Muutosnopeus
By Timo Pelkola
