Paloittain määritelty funktio
1
2
3
-4
12
...
2
4
6
-8
24
...
Otetaan kaksi luvuista koostuvaa joukkoa
Liitetään jokaiseen ensimmäisen joukon lukuun yksi luku toisesta joukosta
Sääntöä jolla luvut liitetään toisiinsa, kutsutaan funktioksi
\(f\)
\(f\)
MÄÄRITTELYJOUKKO
ARVOJOUKKO
1
2
3
-4
12
...
2
4
6
-8
24
...
\(f\)
\(f\)
MÄÄRITTELYJOUKKO
ARVOJOUKKO
Mikä sääntö määrittelee alla kuvaillun funktion \(f\)?
Luku kerrotaan kahdella.
Saman säännön pystyy toisaalta ilmaisemaan muuttujan \(x\) avulla lausekkeena \(2x\)
Tällöin merkitään \(f(x)=2x\)
1
2
3
-4
12
...
2
4
6
-8
24
...
\(f\)
\(f\)
MÄÄRITTELYJOUKKO
ARVOJOUKKO
Funktion \(f\) arvo kohdassa \(a\) on se arvojoukon luku, jonka funktio liittää lukuun \(a\). Tätä merkitään \(f(a)\).
Tässä
- \(f(2)=4\)
- \(f(12)=24\)
- \(f(-4)=-8\) jne.
1
2
3
-4
12
...
2
4
6
-8
24
...
\(f\)
\(f\)
MÄÄRITTELYJOUKKO
ARVOJOUKKO
Huom! Funktion määrittelevässä säännössä ei ole pakko olla mitään "järkeä". Oleellista on vain, että funktio liittää jokaiseen määrittelyjoukon lukuun yhden luvun
1
2
3
-4
12
...
4
\(f\)
\(f\)
MÄÄRITTELYJOUKKO
ARVOJOUKKO
Jokainen määrittelyjoukon luku on liitettävä yhteen arvojoukon lukuun, mutta se voi olla vaikka kaikille sama ("vakiofunktio")
Arvojoukossa on ainoastaan ne luvut, jotka funktio saa arvokseen, ja määrittelyjoukossa ainoastaan ne luvut, joihin funktio liittää arvon
\(f(x)=4\)
\(b\)
\(c\)
\(a\)
\(f(a)\)
\(f\)
\(f\)
MÄÄRITTELYJOUKKO \(A\)
ARVOJOUKKO
Usein arvojoukkoa on vaikea selvittää, mutta tiedetään kuitenkin, mihin "suurempaan" joukkoon se sisältyy, esimerkiksi että funktion saamat arvot ovat positiivisia reaalilukuja. Tätä arvojoukon sisältävää joukkoa kutsutaan funktion maalijoukoksi.
\(f(b)\)
\(f(c)\)
MAALIJOUKKO \(B\)
\(f:A\to B\)
Olkoon \(f:\{1,2,3\}\to \mathbb{R}\) funktio, jolle \(f(x)=3x^2\). Määritä funktion \(f\) arvojoukko.
Koska funktion määrittelyjoukossa on vain kolme lukua, voidaan kaikki funktion mahdolliset arvot laskea
\(f(1)=3\cdot1^2=3\cdot1=3\)
\(f(2)=3\cdot2^2=3\cdot4=12\)
\(f(3)=3\cdot3^2=3\cdot9=27\)
V: \(\{3,12,27\}\)
Olkoon \(f(x)=\begin{cases}-x+2,\text{ kun }x\leq2\\x^2-4x+4,\text{ kun }x>2\end{cases}\). Laske \(f(-4)\) ja \(f(5)\).
Koska \(-4\leq2\), niin \(f(-4)=-(-4)+2=6\)
Koska \(5>2\), niin \(f(5)=5^2-4\cdot 5 +4 = 9\)
Paloittain määritelty funktio
Geogebra:
Nspire:
01 Paloittain määritelty funktio
By Timo Pelkola
