Suora ja paraabeli
Funktion kuvaaja saadaan, kun koordinaatistoon piirretään jokainen piste, jonka koordinaatit on \((x,f(x))\) eli toteuttavat yhtälön \(y=f(x)\)
\(f(x)=x^2\)
\(x=2\)
\(f(2)=4\)
\((2,4)\)
Onko piste (3,2) funktion \(f(x)=2x-4\) kuvaajalla?
Kun x-koordinaatti on 3, funktion kuvaajan pisteen y-koordinaatti on \(y=f(3)=2\cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2\). Siis piste (3, 2) on kuvaajalla.
Nollakohdissa funktio saa arvon 0. Kuvaajassa tämä näkyy niin, että kuvaaja leikkaa nollakohdissa x-akselin
Määritä graafisesti millä muuttujan \(x\) arvolla funktio \(f(x)=x^3-4x^2+x+10\) saa arvon 4?
Helpoiten kohdat löytää, kun piirtää suoran \(y=4\) ja etsii suoran ja kuvaajan leikkauspisteet
V: \(x=-1\), \(x=2\) tai \(x=3\)
- Kulkusuunnaltaan nousevan suoran kulmakerroin on positiivinen, laskevan negatiivinen
\(k>0\)
Nouseva suora:
\(k<0\)
Laskeva suora:
Ensimmäisen asteen polynomifunktion \(f(x)=kx+b\) kuvaaja on suora, jossa
\(k\) on kulmakerroin ja \(b\) vakiotermi
- x-akselin suuntaisen vaakasuoran suoran kulmakerroin on 0. Vaakasuora suora on vakiofunktion (esim. \(f(x)=3\)) kuvaaja
- pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa lainkaan (sen pitäisi olla "ääretön"). Pystysuora suora ei voi olla minkään funktion kuvaaja, koska funktion arvon täytyy olla yksikäsitteinen
\(k=0\)
Vaakasuora:
\(k\) ei määr.
Pystysuora:
Kulmakertoimen laskeminen
\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Jos suora kulkee pisteiden \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\) kautta, niin suoran kulmakerroin voidaan laskea
Määritä kuvan suoran kulmakerroin.
●
●
\((-2,1)\)
\((3,-1)\)
\(k=\frac{-1-1}{3-(-2)}=-\frac{2}{5}\)
\((0,b)\)
\(\begin{cases}\\\\\end{cases}\)
\(b\)
Suora \(y=kx+b\) leikkaa y-akselin pisteessä \((0,b)\)
Ensimmäisen asteen polynomifunktion \(f\) arvo kohdassa 0 on 3 ja sen kuvaajan kulmakerroin on 4. Määritä funktion lauseke.
Koska ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on suora, joka kulkee pisteen (0,3) kautta ja jonka kulmakerroin on 4, suoran yhtälö täytyy olla \(y=4x+3\).
Siis \(f(x)=4x+3\).
\((0,3)\)
\(\begin{cases}\\\\\end{cases}\)
\(b\)
Funktion \(f\) kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on 3 ja se kulkee pisteen (-2,4) kautta. Määritä funktion lauseke
\(y-y_0=k(x-x_0)\)
\(y-4=3(x-(-2))\)
\(y-4=3(x+2)\)
\(y-4=3x+6\)
\(y=3x+10\)
\(x_0 = -2\), \(y_0=4\), \(k=3\)
V: \(f(x)=3x+10\)
Toisen asteen polynomifunktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) (jossa \(a\neq 0\)) kuvaaja on paraabeli
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
\(a>0\)
\(a<0\)
Paraabeli aukeaa ylöspäin, kun \(a>0\) ja alaspäin kun \(a<0\)
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
Toisen asteen polynomifunktiolla voi olla nollakohtia 0 kpl
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
Toisen asteen polynomifunktiolla voi olla nollakohtia 1 kpl
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
Toisen asteen polynomifunktiolla voi olla nollakohtia 2 kpl
02 Suora ja paraabeli
By Timo Pelkola
