Перпендикулярность прямой и плоскости
10 класс
vkrysanov320@gmail.com
version 1.1, 30-11-2022
Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен .
90^{\circ}
Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
a \perp b
Пусть
a \parallel b, a \perp c.
Т. д.
b \perp c.
Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Теорема: Eсли две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
a \perp \alpha
\\
b \perp \alpha
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\Rightarrow a \parallel b.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Eсли прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
\varphi
p \subset \varphi, a \perp p
\\
q \subset \varphi, a \perp q
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\Rightarrow a \perp \varphi.
Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Задачи
т. д.
AC \perp AMB
т. д.
CD \perp ABC
BMDC
— прямоугольник
1.
2.
т. д.
AD \perp AM
ABCD
— прямоугольник
4.
3.
т. д.
BC \perp DE
Задачи (2)
т. д.
MO \perp ABC
5.
ABCD
— параллелограмм
6.
т. д.
BD \perp AMC
ABCD
— ромб
Задачи (3)
т. н.
MC
7.
\angle ACB = 90^{\circ}
a \perp ABC
AC = 4, MD = 3
8.
\angle ACB = 90^{\circ}
a \perp ABC
\triangle ABC
— равносторонний
AB = 2\sqrt{3}, MD = 4
т. н.
MC
Задачи (4)
т. н.
MB
9.
10.
a \perp ABC
AB = 6, MO = 2
т. н.
MC
a \perp ABC
\triangle ABC
— равносторонний
AB = 4\sqrt{3}, MO = 3
O
— центр описанной окружности у
\triangle ABC
\angle ACB = 120^{\circ}
O
— центр описанной окружности у
Задачи (5)
т. н.
MB
11.
a \perp ABC
12.
ABCD
— прямоугольник
MD = 8
a \perp ABC
т. н.
AB, AD
Задачи (6)
13. Прямая перпендикулярна к плоскости правильного треугольника . Через центр этого треугольника проведена прямая , параллельная прямой Известно, что . Найти расстояния от точек и до вершин и треугольника.
14. Через точки и прямой проведены прямые, перпендикулярные к плоскости и пересекающие ее соответственно в точках и . Найдите , если
CD
ABC
O
OK
CD.
AB = 16 \sqrt{3}, OK = 12, CD = 16
D
K
A
B
P
Q
PQ
\alpha
P_1
Q_1
P_1Q_1
PQ = 15, PP_1 = 21{,}5, QQ_1 = 33{,}5.
Г3. Перпендикулярность прямой и плоскости
By vkrysanov320
