微積分

presenter: fan of Aaw

DISCLAIMER:

本次課程切入的角度並非嚴謹的數學證明

有一個* 在旁邊的話表示唬爛這個說法技術上來說不對

而是為了有一個整個領域的大尺度Overview

目的是讓你們能夠在看研究或新東西時

有ㄧ點常識讓你們能夠更好理解酷東西

極限

微積分

  • 微分+積分*
  • 研究連續性的東西
  • 在自然科學和數學本身都很有用

很小的東西

圓型面積?

抓住這個直覺

把一個東西逼近到無限大(小)

\lim\limits_{x \to \infty} f(x)

把他想像成一個非常靠近c的數 

嚴謹的定義利用 Epsilon-Delta Definition

\lim\limits_{x \to c} f(x)

例子

\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x} \space\space\space \\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x} \space\space\space\space\space\space\space \\ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x}\space\space\space\space\space\space\space \\ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2+7122}{2x^2}

微分

將一個函數變成另一個函數

\frac{d}{dx}f(x) = f^{'}(x) = \frac{df}{dx} = \\ \\ \\ \lim\limits_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

 幾何意義

f(x)在x處切線的斜率

運算性質

\frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = \frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)
\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f(x)\frac{dg}{dx}+g(x)\frac{df}{dx}
\frac{d}{dx}f(g(x)) = g^{'}(x)f^{'}(g(x))
\frac{d}{dx}k\cdot f(x) = k\cdot \frac{d}{dx}f(x)

同學~

微積分對我來說就是九九乘法表

積分

函數底下的面積*

\int_{a}^{b} f(x) dx =

計算

分很多塊加起來?

可以阿

聰明一點呢?

微積分基本定理*

\int_{a}^{b}f(x) = F(b)-F(a) \\ 其中\frac{d}{dx}F(x) =f(x)

證明*:

例子

\int_{-\pi}^{\pi}{-x^2}{dx} \\ \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x}}{dx} \\\int_{0}^{\infty}{e^{-x}}{dx} \\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{(x)}} {dx} \\ \int {\frac{1}{x^2-1}} dx \\ \int xe^x dx

多維度函數

就是變數不只一個的函數

f:\reals^n\mapsto \reals^m

多維函數的微分

f(x,y,z,w,k,n,g,m,orz)

哪一個?

指定要那一個變數:偏微分

\frac{\partial f}{\partial x}

其他的變數當常數看

why?

例子

f(x,y,z) = \sin(2x+y^2)e^z\\ f(x,y,z) = \begin{bmatrix}x^2y\\ln(z+x)\end{bmatrix} \\ \frac{\partial f}{\partial x} = ?\\\\ \frac{\partial f}{\partial y} = ?\\\\ \frac{\partial f}{\partial z} = ?\\\\

多維度的積分

一個多維空間是不是有更多可以積的東西

點?線?面?體?更高維度的空間?

在線上積分(線積分)

\int_c f

在面積分(曲面積分)

\iint_s f

在體上積分

\iiint_{v} f

小知識

what is this?

\oint \oiint \oiiint

富比尼定理*

\int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} f(x,y)\,dx\,dy =\int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x,y)\,dy\,dx

梯度 旋度 散度

向量場和純量場

場?

其實只是一個函數

回想之前的定義

F:\reals^n\mapsto \reals^m

純量場: m = 1

向量場: m>=2

直觀上來說

梯度

從一個純量場變成一個向量

F:\reals^n \mapsto \reals 的話,產生n維向量
\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{ \partial x}\\\\ \frac{\partial f}{ \partial y}\\\\ \frac{\partial f}{ \partial z}\\ \end{bmatrix}

意義

指向最大值的方向

散度

向量場上一個點發散的程度

\frac{\partial f_x}{\partial x}+\frac{\partial f_y}{\partial y}+\frac{\partial f_z}{\partial z}

看圖

旋度

向量場上旋轉的程度

(用一向量表示)

\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\\\{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}

圖片上

統合

Nabla算子

\nabla = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix}

一些酷酷的級數和轉換

Taylor Series

把一個函數用多項式表示

 

怎麼作

微分

f(x) = a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2...
f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^n

一些名詞

  • 可微性 連續性
  • 解析函數
  • 複數拓展

Fourier series

Fourier Transfrom

用sin 和cos表示一個函數

怎麼作

積分

f(x) = a_0+a_1cos(1x)+a_2cos(2x).... + b_1sin(1x)
f(x)={\frac {a_{0}}2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]
a_{n}={\frac {1}{\pi}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx \\ b_{n}={\frac {1}{\pi}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx

連續版的

\hat{f}(\xi) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{i2\pi x\xi} \,dx

應該講不到的

  • 拉普拉斯轉換
  • z轉換
  • FFT

例題

微積分

By Willy Chan

微積分

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