素数の分布を話したい
～Gauss青年が見つけた法則とそれの発展～
2016.12.24
@ロマンティック数学ナイト
@Riemann_Zeta_F
\pi^{-\frac{s}{2}}
\Gamma(\frac{s}{2})
\zeta(s)
=
\pi^{-\frac{1-s}{2}}
\Gamma(\frac{1-s}{2})
\zeta(1-s)
\displaystyle \prod_{p;{\mathrm{prime}}}\frac{1}{1-p^{-s}}
\zeta(2)
=
\frac{\pi^2}{6}
\displaystyle
\pi(x)
=
\sum_
{m\leqq\log_2 x}
\frac{\mu(m)}{m}
\biggl(
\mathrm{li}(x^{\frac{1}{m}})
-
\sum_\rho
\mathrm{li}
(x^{\frac{\rho}
{m}})
-
\log 2
+
\int_{x^{\frac{1}{m}}}^\infty
\frac{{dt}}{t({t^2}-1)\log t}
\biggr)
\displaystyle
\zeta(s)
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{k^s}
\displaystyle
\zeta(3)=
1
+
\frac{1}{8}
+
\frac{1}{27}
+
\frac{1}{64}
+
...
\displaystyle
\neq
\frac{p}{q}
自己紹介.
・
・7月に2人の日曜数学者のブログを見て
数学に興味を持つ.
・好きな四字熟語は関数等式,好きな素数は
と
13
1
歳,中学
年生.
2
3
と
13
と
37
と
101
と
と
691
5882353
他多数.
・グレブナー基底にはポン酢派の一人.
Theorem. (Euclid,3 B.C.)
素数は無数に存在する.
Gaussの素数定理
Gaussの素数定理
\pi(x) \sim \frac{x}{\log(x)}
.
\sim
ここで,
は,
\displaystyle
\lim_{x \to \infty}
\frac
{\pi(x)}
{\frac{x}{\log(x)}}
を表すものとする.
= 1
Gaussが15歳で予想した定理!
Bernhard Riemannが1859年に研究,
1896年にde la Vallée-Poussin,Hadamardが,
それぞれ独立に証明.
Bernhard Riemann
1826 - 1866.
「与えられた数より小さい素数の個数について」
"Riemannの素数公式"
Riemannのゼータ関数
Riemannのゼータ関数.
\displaystyle
\zeta(s)
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{k^s}
\mathrm{Re}(s) > 1
.
\zeta(s)=
\displaystyle \prod_{p;{\mathrm {prime}} }\frac{1}{1-
\frac{1}{p^s}}
Theorem.(Euler,1737.)
.
Riemannのゼータ関数.
Theorem.(Euler,1737.)
\displaystyle
\zeta(2)
=
\frac{\pi^2}{6}
.
Theorem.(Apéry,1978.)
\displaystyle
\zeta(3)
\neq
\frac{p}{q}
.
\zeta(s)
\pi^{-\frac{s}{2}}
\Gamma(\frac{s}{2})
=
\zeta(1-s)
\pi^{-\frac{1-s}{2}}
\Gamma(\frac{1-s}{2})
Theorem.(Riemann,1859.)
.
\displaystyle
\zeta
(1-s)=2^{1-s}
\pi^{-s}
\cos
\frac{\pi s}{2}
\Gamma
(s)\zeta
(s)
\displaystyle
\zeta(s)
=
2^s
\pi^{s-1}
\sin
\frac{\pi s}{2}
\Gamma(1-s)
\zeta(1-s)
.
.
自明な零点・・・
\displaystyle
(-2k)
.
非自明な零点・・・自明な零点でない零点.
自然な疑問; 他に零点はあるのか?
\displaystyle
0
<
\mathrm
{Re}
(\rho)
<
1
\rho \in \mathbb{C}
Theorem.(Hadamard,Poussin,1896.)
を
\zeta(s)
の非自明な零点とする.
このとき,
が成り立つ.
この定理を示すことは素数定理を証明することと同値.
\mathrm{Re}(s) = 1 \Longrightarrow \zeta (s) \neq 0
を示すことで証明を与えた.
\displaystyle
\pi(x)
=
\sum_
{m\leqq\log_2 x}
\frac{\mu(m)}{m}
\biggl(
\mathrm{li}(x^{\frac{1}{m}})
-
\sum_\rho
\mathrm{li}
(x^{\frac{\rho}
{m}})
-
\log 2
+
\int_{x^{\frac{1}{m}}}^\infty
\frac{{dt}}{t({t^2}-1)\log t}
\biggr)
Riemannの素数公式.
Riemannは1859年に素数個数計数関数を完璧に表す式を証明した;
.
Riemannの素数公式では誤差項はρが
両端から遠いほど小さくなることがわかる.
Riemann Hypothesis.
の非自明な零点
\zeta(s)
\rho
はすべて
\mathrm
Re(\rho)=
\frac{1}{2}
.
\displaystyle
\mathrm
L
\mathrm
i
(x) = \int_{2}^{x} \frac{1}{\log t}
\mathrm
d
\mathrm
t
.
\pi(x)
<
\mathrm
L
\mathrm
i(x)
GaussやRiemannは,常に
が成り立つと考えていた.
\displaystyle
\mathrm
l
\mathrm
i
(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{\log t}
\mathrm
d
\mathrm
t
.
しかし,この予想はLittlewoodが証明した定理によって否定される;
\pi(x)-
\mathrm
L
\mathrm
i(x)
Theorem.(Littlewood.)
は無限回符号を変える.
John Edensor Littlewood
1885 - 1977.
Stanley Skewes.
1899-1988.
\displaystyle
e^{e^{e^{20382810665126687668323137537172632.374691364861524219235342823...}}}
Skewes Number.
e^{e^{e^{e^{7.705}}}}
\approx
10^{10^{10^{963}}}
(1933,Skewes.)
.
.
(1955,Skewes.)
Thank you for your attention!
\pi(x)
10^1
x
10^2
10^3
10^4
10^5
10^6
10^7
4
25
168
1229
9592
78498
664579
\frac{x}{\log(x)}
4.343
21.715
144.764
1085.736
8685.890
72382.414
620420.688
誤差(%)
+8.57
-13.14
-13.83
-11.65
-9.44
-3.96
-6.64
\mathrm
L
\mathrm
i
(x)
\pi(x)
\pi
(10)
=
4
\mathrm
L
\mathrm
i
(10)
=
5
\pi
(100)
=
25
\mathrm
{Li}
(100)
=
29
\pi
(1000000000)
=
50847534
\mathrm
{Li}
(1000000000)
=
50849234
Romantic Mathnight.
By zeta_aniki
Romantic Mathnight.
これ画面の比率によってはすごい文字ずれてたりするかもしれないです ずれてる
