МЕХАНИКА
"Большая перемена"
ОГЭ
1. Танк едет со скоростью v = 60 км/ч. С какой скоростью движутся верхние траки гусениц танка?
120 км/ч
Разминка
2. Доска длиной L одним концом лежит на цилиндре. Другой конец удерживается человеком, который толкает ее вперед, вследствие чего цилиндр катится без проскальзывания (см. рисунок). Какой путь пройдет человек, дойдя до цилиндра?
S = 2L
3. Определите скорость тела u, считая скорость v известной (см. рисунок). Нити нерастяжимы, рычаги жесткие.
a) вверх v/2
Разминка
б) вниз 2v/3
в) вниз 7v/12
г) вверх 14v/3
Нестандартные методики
Векторное произведение
Опр.:
1)∣c∣=∣a∣⋅∣b∣⋅sin(α)
1) \, |\vec{c}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \sin(\alpha)
α
\alpha
где
,
,
2)c⊥a;
2) \, \vec{c} \perp \vec{a};
c⊥b;
\vec{c} \perp \vec{b};
3)
3)
- угол между векторами и
a
\vec{a}
b;
\vec{b};
Векторное произведение двух векторов и - это такой вектор , который удовлетворяет следующим требованиям:
a
\vec{a}
b
\vec{b}
c
\vec{c}
Векторы и - образуют правую тройку.
a
\vec{a}
b
\vec{b}
c
\vec{c}
,
,
c=a×b=[a,b]
\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b} = [\vec{a}, \vec{b}]
Обз.:
Правая тройка векторов
Опр.:
a
\vec{a}
c
\vec{c}
b
\vec{b}
a
\vec{a}
c
\vec{c}
b
\vec{b}
a
\vec{a}
c
\vec{c}
b
\vec{b}
a
\vec{a}
c
\vec{c}
b
\vec{b}
c=a×b
\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}
c=b×a
\vec{c} = \vec{b}\times\vec{a}
b=c×a
\vec{b} = \vec{c}\times\vec{a}
b=a×c
\vec{b} = \vec{a}\times\vec{c}
Тройка векторов и - называется правой, если кратчайший
поворот от вектора до вектора виден из конца вектора против часовой стрелки.
a,
\vec{a},
b
\vec{b}
c
\vec{c}
a
\vec{a}
b
\vec{b}
c
\vec{c}
Момент сил
Опр.:
M
\vec{M}
=
=
r
\vec{r}
×
\times
F
\vec{F}
Радиус вектор из точки отсчета до точки приложения силы
Момент силы F относительно точки отсчета
r
\vec{r}
F
\vec{F}
M
\vec{M}
Точка отсчета
Точка приложения силы
Момент сил
∣M∣
|\vec{M}|
=
=
∣r∣
|\vec{r}|
⋅
\cdot
∣F∣
|\vec{F}|
Плечо сил
⋅
\cdot
sin(α)
\sin(\alpha)
∣r∣
|\vec{r}|
⋅
\cdot
sin(α)
\sin(\alpha)
=
=
l
l
Кратчайшее расстояние до линии действия силы
=
=
M
M
=
=
F⋅l
F\cdot l
Выбор знака определяется через векторное произведение
r
\vec{r}
F
\vec{F}
α
\alpha
180∘−α
180^{\circ}-\alpha
l
l
sin(180∘−α)
\sin(180^{\circ} - \alpha)
=
=
sin(α)
\sin(\alpha)
⋅r
\cdot r
Плоская система сил
r
\vec{r}
F
\vec{F}
M
\vec{M}
y
y
x
x
⊙
\odot
=
=
"+"
"+"
r
\vec{r}
F
\vec{F}
M
\vec{M}
y
y
x
x
=
=
"−"
"-"
⊗
\otimes
- Если все силы действуют в одной плоскости, то моменты всех сил будут этой плоскости перпендикулярны.
- Если сила вращает тело относительно точки отсчета против часовой стрелки, то момент силы направлен "к нам" и знак будет положительным ("+"). В противном случае знак будет отрицательным ("-").
Плоскопараллельное движение
Опр.:
Плоскопараллельное движение - вид движения абсолютно твёрдого тела, при котором траектории всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных заданной плоскости.
Мгновенный центр скоростей (МЦС)
Опр.:
Мгновенный центр скоростей — при плоскопараллельном движении абсолютно твёрдого тела точка, связанная с этим телом, которая обладает следующими свойствами:
а) её скорость в данный момент времени равна нулю;
б) относительно неё в данный момент времени вращается тело. Она существует в любой момент времени, но её положение меняется со временем.
Движение колеса без проскальзывания
vс
\vec{v}_с
vс
\vec{v}_с
vTотносит.C
\vec{v}_{T относит. C}
Некоторая точка колеса
Точка колеса, скорость которой равна нулю
Мгновенный центр скоростей МЦС
T
T
vрез
\vec{v}_{рез}
=
Положение МЦС
Алгоритм:
- Определяем направления скоростей любых двух различных точек тела, скорости которых НЕ параллельны;
- Проводим перпендикуляры к прямым, параллельным линейным скоростям выбранных точек тела;
- В точке пересечения этих перпендикуляров и будет находиться мгновенный центр скоростей.
vс
\vec{v}_с
vA
\vec{v}_A
A
A
vB
\vec{v}_B
B
B
B
B
A
A
vA
\vec{v}_A
vB
\vec{v}_B
B
B
A
A
vA
\vec{v}_A
vB
\vec{v}_B
vA=vрез.A
\vec{v}_A = \vec{v}_{рез. A}
vс
\vec{v}_с
vс
\vec{v}_с
Положение МЦС
- Если векторы линейных скоростей двух различных точек тела параллельны друг другу, и отрезок, соединяющий эти точки, не перпендикулярен векторам этих скоростей, то перпендикуляры к этим векторам также параллельны. В этом случае говорят, что мгновенный центр скоростей находится в бесконечности, и тело движется мгновенно поступательно.
vс
\vec{v}_с
vA
\vec{v}_A
A
A
vB
\vec{v}_B
B
B
vA
\vec{v}_A
vB
\vec{v}_B
vс
\vec{v}_с
=
=
=
=
Положение МЦС
- Если известны скорости двух точек, и эти скорости параллельны друг другу, и кроме того, указанные точки лежат на прямой, перпендикулярной скоростям, то положение мгновенного центра скоростей определяется так, как показано на рисунках
vA
\vec{v}_A
A
A
vB
\vec{v}_B
B
B
vA
\vec{v}_A
A
A
vB
\vec{v}_B
B
B
Удобство использования МЦС
- В случае вращательного движения все точки твердого тела вращаются с одинаковыми угловыми скоростями. Определив мгновенный центр скоростей, можно определить линейную скорость любой точки тела.
B
B
A
A
vA
\vec{v}_A
vB
\vec{v}_B
ω
\omega
ω
\omega
RA
R_A
RB
R_B
vA
v_A
=
=
RA
R_A
ω
\omega
vB
v_B
=
=
RB
R_B
ω
\omega
Пример 1
vA
\vec{v}_A
vB
\vec{v}_B
МЦС
Пример 2
vс
\vec{v}_с
vB
\vec{v}_B
A
A
O
O
B
B
vA
v_A
vс
v_с
=
=
ω
\omega
R
R
R
R
=
=
ω
\omega
2R
2R
=
=
2vс
2v_с
vB
v_B
=
=
ω
\omega
R2
R\sqrt{2}
Пример 3
Катушку тянут за нить. Радиус катушки R1 = 10 см, радиус барабана R2 = 5 см, скорость относительно земли v = 15 м/с. Определите скорость центра катушки и точки А, относительно земли.
vс
\vec{v}_с
R1
R_1
O
O
C
C
R2
R_2
B
B
A
A
v
\vec{v}
МЦС
vB
v_B
=
=
v
v
=
=
ω(R1+R2)
\omega (R_1 + R_2)
ω
\omega
=
=
R1+R2v
\dfrac{v}{R_1 + R_2}
vC
v_C
=
=
ωR1
\omega R_1
vA
v_A
=
=
ω2R1
\omega 2R_1
Пример 4
Определите скорость груза Е, исходя из рисунка
v
\vec{v}
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
A1
A_1
A2
A_2
МЦС
МЦС
vA2
v_{A_2}
=
=
v
v
OA
O_A
vOA
v_{O_A}
=
=
2vA2
\dfrac{v_{A_2}}{2}
vB2
v_{B_2}
=
=
vOA
v_{O_A}
...
...
vE
v_{E}
=
=
16v
\dfrac{v}{16}
ЕГЭ
Кодификатор
| 1.3 | Статика |
|---|---|
| 1.3.1 | Момент силы относительно оси вращения: где плечо силы относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно рисунку |
| 1.3.2 | Условия равноевися тела в ИСО: |
M=Fl,
M = Fl,
l−
l -
F
\vec{F}
{M1+M2+...=0F1+F2+...=0
\begin{cases}
M_1 + M_2 + ... = 0 \\
\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... = 0
\end{cases}
Задача 1
Однородный стержень AB массой m = 100 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом B и опираясь на край банки в точке C (см. рисунок). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке C, равен 0.5 Н. Чему равен модуль вертикальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке B, если модуль горизонтальной составляющей этой силы равен 0.3 Н? Трением пренебречь. Ответ укажите в ньютонах с точностью до одного знака после запятой.
Задача 2
На гладкой горизнтальной плоскости лежит два груза массами m1 = 0.5 кг и m2 = 2 кг, соединенные невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена направленная вертикально вниз сила F = 4 Н. Найдите ускорение этой оси. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.
Задача 3
К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной L = 30 см. Если к этому стержню подвесить груз массой m = 3 кг на расстоянии d = 5 см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, и растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рисунок). Жесткость левой пружины в 2 раза меньше, чем правой. Чему равна масса стержня M? Сделайте рисунок с указанием используемых в решении сил.
Задача 4
В системе, изображённой на рисунке, масса груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости, равна m = 2 кг. При подвешивании к оси подвижного блока груза массой M = 2,5 кг он движется вниз с ускорением a = 2 м/с2. Чему равен коэффициент трения μ между грузом массой m и плоскостью? Нити невесомы и нерастяжимы, блоки невесомы, трение в осях блоков и о воздух отсутствует.
Задача 5
Очень лёгкая рейка уравновешена в горизонтальном положении. Правым концом она прикреплена к шарниру O. К левому концу рейки прикреплена невесомая нерастяжимая нить, которая натягивается с помощью невесомого подвижного блока, к оси которого подвешен груз массой 20 г. К средней части рейки прикреплён воздушный шарик, наполненный лёгким газом. Определите объём этого шарика, пренебрегая массой его оболочки и массой газа, находящегося в шарике. Плотность атмосферного воздуха 1,2 кг/м3. Ответ приведите в литрах.
Задача 6
В системе, изображённой на рисунке, грузик массой m = 1 кг подвешен на нити, охватывающей три блока, второй конец которой привязан к оси самого правого блока (см. рис.). К этой же оси привязана другая нить, соединяющаяся с грузом массой M = 11 кг, лежащим на шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения груза о плоскость равен μ = 0,25). Найдите ускорение a1 грузика m. Считайте, что нити невесомы и нерастяжимы, свободные участки нитей вертикальны или горизонтальны, блоки невесомы, а трение в их осях отсутствует.
Задача 7
Невесомый стержень длиной 3 м расположен в стакане по углом 45о (см. рисунок). На расстоянии 1м от угла подвешен шарик массой 3 кг. Найдите силу, с которой стержень давит на стенку стакана.
Задача 8
Найдите модуль ускорения A груза массой М в системе, изображённой на рисунке. Трения нет, блоки невесомы, нити лёгкие и нерастяжимые, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, масса второго груза m, ускорение свободного падения равно g.
Задача 9
В системе, изображённой на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нить невесома и нерастяжима, m1 = 2 кг, m2 = 4 кг, m3 = 1 кг. Найдите модуль и направление ускорения a3 груза массой m3.
Задача 10
На горизонтальном шероховатом столе лежит брусок массой m1 = 2 кг, соединённый через систему идеальных блоков невесомой и нерастяжимой нитью с грузом массой m2 = 3 кг, висящим на высоте h = 2 м над столом (см. рисунок). Груз начинает движение без начальной скорости и абсолютно неупруго ударяется о стол. Какое количество теплоты Q выделяется при этом ударе? Коэффициент трения бруска о стол равен μ = 0,25.
Спасибо за понимание!
МЕХАНИКА "Большая перемена"
Механика
By Alexey Baigashov
Механика
- 523
