Занятие №13:
Движение тел с переменной массой
Уравнение Мещерского
Неподвижная система отсчета (С.О.)
Масса тела, изменяющаяся со временем
M = M(t)
Масса частиц присоединяющихся к телу, двигающихся со скоростью v1, относительно неподвижной С. О.
\Delta m_1
Скорость тела относительно неподвижной С.О., изменяющаяся со временем
v = v(t)
\Delta m_2
Масса частиц отделяющихся от тела, приобретая скорость v2 относительно неподвижной С.О.
Закон сохранения импульса
\vec{p} = const
\vec{p}_{\text{тела}}
=
\vec{p}_1
\vec{p}_2
-
\vec{p}_{\text{тела}}
\vec{p}_1
\vec{p}_2
=
=
=
M_{\text{тела}} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}
+
\Delta M_{\text{тела}} \cdot \vec{v}_{\text{тела}}
\Delta M_{\text{тела}}
=
\Delta m_1
-
\Delta m_2
\Delta m_1 \cdot \vec{v}_1
\Delta m_2 \cdot \vec{v_2}
Подставим все куда нужно
M_{\text{тела}} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}
+
\cdot \vec{v}_{\text{тела}}
=
(\Delta m_1 - \Delta m_2)
\Delta m_1 \cdot \vec{v}_1
\Delta m_2 \cdot \vec{v}_2
=
-
M_{\text{тела}} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}
=
\Delta m_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{v}_{\text{тела}})
\Delta m_2 \cdot (\vec{v}_2 - \vec{v}_{\text{тела}})
-
-
|:\Delta t
\frac{M_{\text{тела}}}{\Delta t} \cdot \Delta\vec{v}_{\text{тела}}
=
\frac{\Delta m_1}{\Delta t} \cdot \vec{u}_1
\frac{\Delta m_2}{\Delta t} \cdot \vec{u}_2
-
Реактивная сила тяги
\vec{F}_p
Скорость присоединяющихся частиц относительно тела
Скорость отсоединяющихся частиц относительно тела
Расход топлива
В большинстве задач обнуляется
F_{P}
=
-
v \cdot \frac{\Delta m}{\Delta t}
Реактивня тяга / сила
Скорость истечения газов
Расход топлива в единицу времни
В упращенном виде
\vec{v} = \vec{u}_2
\Delta m = \Delta m_2
Уравнение Циалковского. Реактивногое движение
v
=
-
v_e \cdot \ln \left(1 + \frac{M_2}{M_1} \right)
Конечная скорость ракеты
Скорость вырывающихся элементов относительно ракеты
Масса топлива
Масса ракеты без без топлива
Пример - задача
Какую реактивную тягу необходимо приложить к телу, чтобы оно побороло гравитационное притяжение Земли? Какой расход топлива может быть при этом?
Дано:
m = 60 \, \text{кг};
g = 9,8 \, \text{м/с}^2
\approx
10 \, \text{м/с}^2
Найти:
Решение:
F_P - ?
m\vec{g}
\vec{F_P}
\vec{F_P}
\geqslant
m\vec{g}
|\vec{F_P}|
\geqslant
600 \text{Н}
\frac{\Delta m}{\Delta t}
=
\approx
=
\frac{F_P}{v_{\text{допустим пули}}}
\frac{600 \, \text{Н}}{3000 \, \text{м/с}}
\approx
0,5 \, \text{кг/с}
Пример - задача 2
Оценить массу топлива, необходимую для запуска небольшого "наноспутника" массой 50 кг на низкую орбиту с помощью одноступенчатой ракеты. Скорость истечения газов из сопла ракеты составляет 3000 м/с .
Дано:
m = 50 \, \text{кг};
Найти:
Решение:
M_2 - ?
v_{1k\oplus} = v_e \cdot \ln \left(1 + \frac{M_2}{M_1}\right)
v_e = 3000 \, \text{м/с};
\frac{v_{1k\oplus}}{v_e} = \ln \left(1 + \frac{M_2}{M_1}\right)
e^{\frac{v_{1k\oplus}}{v_e}} = 1 + \frac{M_2}{M_1}
M_2 = M_1 \cdot \left(e^{\frac{v_{1k\oplus}}{v_e}} - 1 \right)
M_2 = 50 \cdot \left(e^{\frac{78}{30}} - 1 \right)
v_{1k\oplus} = 7800 \, \text{м/с};
\approx
\approx
700 \, \text{кг}
Спасибо за понимание!
Занятие 13. Движение тел с переменной массой
By Alexey Baigashov
