Een beetje over mij

• Geboren in Québec
• PhD in wiskunde 2019-23 in Gent
• Werk sinds mei in Duitsland
• spel schaak sinds 2000
• Beste dag in schaak: 06-10-2018 (de dag erna \(\to\))

Een beetje over mij

A. L.-R. -- GM Bator Sambuev, 2018

Een beetje over mij

Tijdens covid heb ik een beetje over schaak en wiskunde gedacht

Schaak, wiskunde en spelletjes

Geschiedenis

Dominantieproblemen

Spelletjes

Wiskunde, een hulp voor schaak?

Kort antword: nee.

Lang antword:

Een Korte Geschiedenis van Schaak en Wiskunde in 3 problemen

1. ~600, India. Volgens Ibn Kallikan heeft één man schaak uitgevonden. Als prijs vraagt deze man de koning om één rijstkorrel op het eerste veld, twee op het tweede, dan vier op het derde, etc.

Hoeveel korrels zijn er nodig?

Een Korte Geschiedenis van Schaak en Wiskunde in 3 problemen

1. ~600, India. Volgens Ibn Kallikan heeft één man schaak uitgevonden. Als prijs vraagt deze man de koning om één rijstkorrel op het eerste veld, twee op het tweede, dan vier op het derde, etc.

Hoeveel korrels zijn er nodig?

$$1+2+4+...+2^{63} = 2^{64}-1 = 18\, 446\, 744\, 073\, 709\, 551\, 615$$

(ongeveer het totaal aantal sandkorrels op de Aarde)

De koning had ja gezegd...

Een Korte Geschiedenis van Schaak en Wiskunde

2. Leonard Euler (1706–1783) ontdekt de grafentheorie

Voorbeeld: 7 bruggen van Königsberg: kan men alle bruggen oversteken zonder twee keer dezelfde brug te gebruiken?

Een vrolijk paard

Grafentheorie heeft Euler geholpen om de Paardentour probleem op te lossen

Puzzel tijd!

Puzzel tijd!

Puzzel tijd!

Een Korte Geschiedenis van Schaak en Wiskunde

3. Het acht-dames probleem.

Op hoeveel manieren kan men 8 dames op een schaakbord zetten zonder dat ze elkaar aanvallen?

• Eerst gepubliceerd bij Max Bezzel in 1848
• Gauss and Schumacher bediscussieren een wiskundige oplossing in 1850
• Nauck gaf die 92 solutions in 1850
• gekend tot en met \(n=27\) (2016)

Maximal Dominatie

Plaats 8 dames op een schaakbord zetten zonder dat ze elkaar aanvallen?

Minimal Dominatie

5 dames probleem

Plaats 5 dames om all velden van de bord te beschermen.

• De Jaenisch bestudeert het in 1863
• ook voor \( n\times n \) schaakbord
• gekend tot en met \(n=25\). (2017), en met \(n=31\) (LR–Müßig–Roldán-Roa 2023). A075324

Conjecture (Hedetiemi ~1992)

Het dominantiegetal groeit monotoon met \(n\).

Dominantie problemen in schaak

We willen problemen zoals de laaste twee: waar stukken het schaakbord domineren.

Minimaldominatie

Maximaldominatie (afhankelijkheid)

• 5-dames probleem
• stukken mogen elkaar aanvallen
• we zoeken het minimale aantal stukken die het bord beschermen

• 8-dames probleem
• stukken mogen elkaar niet aanvallen
• we zoeken het maximale aantal stukken dat zo op het bord geplaats kan worden

Dominantie problemen in schaak

Deze problemen zijn moeilijk.

Dus maken we ze algemener!

Polyomino

Wat zijn ze?

Een polyomino is een soort groot "Tetris" stuk. En toren kan bewegen naar alle velden van een polyomino.

5 veld polyomino's (pentomino's)

Polyomino

Dominantie op polyomino

Stukken bewegen normaal, maar kunnen niet springen.

We studieren dominantie voor toren en dames.

Polyomino

Problemen

Minimal- en maximaldominantie

We kunnen het probleem niet exact oplossen. We willen het aantal dames begrenzen.

Polyomino

Stelling (Alpert–Roldán-Roa 2021)

1. Voor een polyomino van \(n\geq 2\) velden, het minimale torensdominantiegetal zit tussen 1 en \(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor\).
2. Voor een polyomino van \(n\geq 3\) velden, het minimale damesdominantiegetal zit tussen 1 en \(\lfloor \frac{n}{3}\rfloor\).

Conclusie

We kunnen niet veel zeggen op basis van het aantal velden.

Andere vraag:

Hoe moeilijk zijn deze problemen juist?

Computationelcomplexiteit

We zullen de complexiteitsgraden van deze problemen rekenen

COmputational complexity

Stelling (A–RR 2021 and LR–M–RR 2022)

MinDomR en MinDomQ zijn NP-complete.

COmputational complexity

Stelling (A-RR 2021)

MaxDomR is in P

Bewijs

De toerenschaakgraf is claw-free

Man kan een coclique in een claw-free graf in polynomial time vinden, dus MaxR is in P

Polycubes

3D en meer

Het kan ook in hogerdimensionalruimte!

De stellingen zijn ook geldig!

bijvoorbeeld: link rook                                                                       link queen

Meer resultats

Proposition (LR-M-RR 2022)

MaxDomR and MaxDomQ are NP-complete on polycubes of dimension \(d\geq 3\).

Proof:

1. Prove that verifying a solution is polynomial
2. Reduce the problem to a known NP-complete problem in polynomial time.

Literal gadgets

Model

Splitting gadgets

Model

Clause gadgets

\(x_1\vee x_2\) or \(\bar x_1\vee \bar x_2\)

Model

Putting clauses

\( x_1\vee x_2\vee  x_3\)

Model

Over dames

Stelling

MaxDomQ is NP-complete voor polycubes \(d\geq 3\).

Example

Bedankt!

https://phoenixsmaug.itch.io/polyomino

https://www.erikaroldan.net/queensrooksdomination

Het spel:

Boeken aanrader:

• Piktovic, Miodrag. Mathematics and chess
• Watkind, John. Across the Board: The Mathematics of Chessboard Problems

Artikel

Langlois-Rémillard, A., Müßig, M., and Roldán-Roa, É. (2022) Complexity of chess domination problems. 19p. arXiv:2211.05651